1.2. Математическое описание динамики сар
Рис. 1.7. Функциональная схема САР
На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет характеризоваться следующими параметрами:
y(t) - управляемый параметр; u(t) - управляющее воздействие; f(t) - возмущающее воздействие; e(t) – рассогласование сигналов; g(t) - задающее воздействие. Значения этих параметров в моменты времени t1, t2, ... tk дают полную информацию о состоянии САР. Пусть состояние ОР характеризуется функцией G(u,f,y), а регулятора - функцией Q(e,u), тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой уравнений вида [1]:
y (t) = G [ y(1), y(2), ..., y(n), f , f(1), ..., f(l), u, u(1), ... ,u(q)] |
(1.1) |
u (t) = Q [ e, e (1), ... e (n), u(1) , ..., u(q)] |
(1.2) |
e (t) = g (t) - y (t) |
(1.3) |
Переменные u и e - внутрение, математически их можно выразить через внешние переменные. Следовательно, можно записать:
y = F [ y(1), ...y(n) , f, f(1) , ...f(l) , g, g(1) , ...g(m) ] |
(1.4) |
Здесь под y(i) , f(i) , g(1) понимаются соответствующие производные. Уравнение (1.4) называется уравнением динамики. Оно описывает переходные процессы, происходящие в системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы вычислительного плана особенно, если уравнения нелинейные или высокого порядка. В таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру.
Если F - аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия. В нашем случае точка равновесия есть точка, характеризующая установившееся состояние. Чем меньше отклонение от состояния равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного уравнения линейным. Допустим, что y(t) является функцией нелинейной, а F - аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики. Такое уравнение можно получить из уравнения (1.4), приравняв производные по времени к нулю:
y0 = F (0, ..., 0, f0, 0, ...0, g0, 0, ...,0). |
|
Пусть воздействия получили приращения и приняли вид:
g = g0 + g, f = f0 + f. |
|
Тогда в системе возникает переходной процесс:
y = y0 + y. |
|
Представим функцию F рядом Тейлора в окрестности точки равновесия. Оставим в разложении только линейные члены, учитывая их весомость по сравнению с откидываемыми малыми величинами:
y
= F
(0,...,0,f0,0,...,0,g0,0,...,0)
+
|
|
y
+
g
+
f
+ ...
Далее, учтем, что y0 = F (0, ... 0, f0, 0, ...0,g0, 0, ...0) и отметим, что в уравнение динамики входят только отклонения, но не сами переменные, кроме того
|
|
,
поскольку
= const.
Поэтому
символ приращения
можно опустить. Введем коэффициенты
а
,
c
,
b
равные частным производным функции F
по g,
f,
y
соответственно
в точке равновесия. Перепишем уравнение
динамики с учетом введенных переменных,
получим:
|
(1.5) |
Уравнение (1.5) является линейным с постоянными коэффициентами. Оно называется уравнением динамики в первом приближении. По виду уравнения динамики различают модели, описываемые алгебраическими уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, уравнениями в конечных разностях. По виду коэффициентов уравнения различают модели с постоянными (детерминированными, стационарными) коэффициентами, с переменными (недетерминированными, нестационарными) параметрами, с квазистационарными параметрами, то есть стационарными в очень малых интервалах времени. По виду временных функций, различают модели непрерывные, дискретные (цифровые), дискретно-непрерывные. Стационарные и нестационарные системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Нестационарные системы характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без изменения формы их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и меняют форму. Если входные сигналы в автоматических системах могут действовать непрерывно в течение всего времени работы системы, то такая система называется непрерывной. Любая система управления, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, является стационарной линейной системой. В заключение отметим, что системы управления по виду уравнений динамики разделяются на стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные, многомерные и одномерные, непрерывные и дискретные.