2.3.Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)

Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = i с целью его рассмотрения в частотной области:

B(i) = b_n (i)ⁿ + b_n-1 (i)^n-1+ ...+ b_o = A () e ^{i ()} = P() + i Q() = 0.

При изменении  от 0 до , вектор B(i) начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:

Рис. 1.19. Кривая Михайлова САУ

Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(i) при  = повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол ( n)/2, где n - степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.

В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z( ) разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости s. Рассмотрим функцию

(1.31)

В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома A(s) = a₀ s^m + a₁ s^m-1+ ...+ a_m

не выше степени n полинома B(s)= b₀ sⁿ + b₁ s^n-1+ ...+ b_{n .} Тогда степени числителя и знаменателя (2.1) одинаковы и равны n. В плоскости s функция 1+ Z(i) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.

Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании  от 0 до  вектор 1+ Z(i), скользящий своим концом по амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1, ) в направлении по часовой стрелке k/2 раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскости s.

2.4.Корневые показатели качества

Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Динамическое поведение САУ характеризуется устойчивостью и быстродействием. Статическое поведение САУ есть установившееся движение. Оно характеризуется точностью САУ, т.е. отклонением управляемой переменой от командного сигнала (статической ошибкой ).

Рассмотрим описание динамики САУ в комплексной области. Основными характеристиками здесь являются: степень устойчивости, демпфирование, колебательность, которые определяются по расположению корней характеристического уравнения замкнутой САУ (полюсам). Если требования на качество известны, то по ним легко определить область расположения полюсов эталонной САУ, а именно:

(1.32)

Здесь приняты следующие обозначения:  - степень устойчивости;  - показатель колебательности. Область  ограничена линией равной степени устойчивости и линиями постоянного демпфирования . Область выглядит следующим образом:

где .

Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления согласно первой теореме Ляпунова считается выполнение условия:

_i < 0; (s_i = _i + i_i , i= )

где s_i - корни характеристического уравнения замкнутой системы. Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения на поведение системы управления во времени в переходном и установившемся режимах.

1. Пусть все корни САУ действительные: s_i =  _i < 0 , ( i = 1,…, n). Тогда переходная функция будет иметь следующий вид:

Рис. 1.21. Переходная функция САУ при s_i =  _i < 0

2. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексно – сопряженные корни вида: s_k =  _k i,  _k < 0, тогда переходная функция будетиметь вид:

Рис. 1.22. Переходная функция САУ при s_k =  _k i,  _k < 0

3. Пусть САУ имеет только действительные корни характеристического уравнения и среди них есть по меньшей мере один, имеющий вид: s _k =  _k > 0, тода переходная функция САУ будет иметь вид:

Рис. 1.23. Переходная функция САУ при s _k =  _k > 0

4. Пусть среди корней характеристического уравнения есть комплексно – сопряженные корни вида: s_k =  _k i,  _k > 0, тогда переходная функция будет иметь вид:

h(t)

t

Рис. 1.24. Переходная функция САУ при s_k =  _k i,  _k > 0

5. Пусть все корни характеристического уравнения есть комплексно – сопряженные корни вида: s_k = i, тогда переходная функция будет иметь вид автоколебаний (теория автоколебаний в курсе не рассматривается):

h(t)

t

Рис. 1.25. Переходная функция САУ при s_k = i

Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания следующих характеристик:

• степени устойчивости

 = | max Re(s_i)|, Re(s_i) < 0, ( i = 1,…, n),

запасом устойчивости по амплитуде называется относительное

увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором

устойчивая система доходит до границы области устойчивости;

• колебательности

 = |Im (s_дом) / Re (s_дом)|;  = arctg ,

колебательность обычно имеет значение 1 - 2, но в отдельных случаях

допускается до 3;

• времени регулирования

T_рег = (1/) ln (1/ );

- демпфирования (затухания)

= 1 - exp (-2 / ),

демпфирование допускается в пределах 90-98%;

- переходной функции

• функции веса

В введенных формулах приняты следующие обозначения: s_i - корень характеристического уравнения замкнутой САУ; s_дом - доминантный полюс, т. е. полюс минимального модуля; А(s) и В(s) – соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой САУ; n - порядок полинома В(s); - малое действительное положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение управляемого параметра от заданного командного сигнала после окончания действия переходного процесса.

Следует подчеркнуть, что корни полинома с действительными коэффициентами всегда являются либо действительными числами, либо попарно - сопряженными комплексными величинами.