4.2 Различные способы представления синусоидальных величин

Известно несколько способов представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в виде вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел.

Ранее уже применялись представления синусоидально изменяющихся величин в виде тригонометрических функций, например (3.19), (3.20), и в виде графика изменений во времени (рис. 3.8).

Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющихся величин в виде вращающихся векторов и комплексных чисел.

А. Представление синусоидальных величин вращающимися векторами.

Для представления синусоидально изменяющейся величины

с начальной фазой ψ вращающимся вектором построим (рис. 4.2, а) радиус-вектор A_m этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде А_т, и под углом ψ к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени t =0.

Рис. 4.2

Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью ω против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равна A_m sin(ωt + ψ). По значениям этих величин можно построить график зависимости синусоидальной величины от фазы ωt или от времени t. Такое построение приведено для некоторых значений t на рис. 4.2, б.

Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.

Б. Представление синусоидальных величин комплексными числами.

От представления синусоидальных величин вращающимися радиусами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидальных величин комплексными числами.

Для того чтобы представить синусоидальную величину

(4.5)

с начальной фазой ψ комплексным числом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2.10) из начала координат под углом ψ к оси действительных величин и чисел вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде А_т синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число — комплексная амплитуда синусоидальной величины:

Рис. 4.3

Так же обозначается и соответствующий комплексной амплитуде вектор на комплексной плоскости.

При увеличении во времени фазы ωt + ψ синусоидальной величины угол между вектором и осью действительных величин растет, т. е. получается вращающийся вектор

Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине (4.5).

По существу представление синусоидальной величины комплексной амплитудой и соответствующим ей вектором на комплексной плоскости геометрически подобно представлению той же синусоидальной величины вращающимся радиусом-вектором А_т в момент времени t = 0 (рис. 4.2, а). Поэтому может создаться впечатление, что оба представления синусоидальных величин практически совпадают. В действительности это не так. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа электрических цепей синусоидального тока, который в настоящее время завоевал всеобщее признание.

Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:

(4.6)

Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (рис. 4.3).

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

показательная форма

(4.7)

тригонометрическая форма

(4.8)

и алгебраическая форма

(4.9)

где Re/ί = A cos ψ и lm A=A sin φ - действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной величины;

А = ;

Переход от показательной формы к тригонометрической выполнен при помощи формулы Эйлера:

(4.10)

При значениях угла φ = π/2 и φ = - π /2 из формулы Эйлера следуют два часто встречающихся соотношения

(4.11)

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин; сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комплексных значений. Например, синусоидальному току

соответствует комплексное значение тока

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы φ всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного, комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором.

Рис. 4.4

Направления синусоидальных величин (ток, напряжение и др.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением α = A_m Sin(ωt + ψ) и соответствующим комплексным значением . Следовательно, взаимно однозначному представлению синусоидальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис. 4.4).