Векторы и координаты

1) векторы на плоскости:

скалярное произведение:

признак коллинеарности: или

признак перпендикулярности: x₁∙x₂ + y₁∙y₂ = 0 ;

2) векторы в пространстве:

скалярное произведение:

признак коллинеарности: или

признак перпендикулярности: x₁∙x₂ + y₁∙y₂ + z₁∙z₂ = 0 ;

признак компланарности трёх векторов:

x₁ y₁ z₁

x₂ y₂ z₂ = 0 ;

x₃ y₃ z₃

векторное произведение двух векторов:

i j k

= x₁ y₁ z₁ ; = S_{параллелограмма} = 2∙S_Δ;

x₂ y₂ z₂

смешанное произведение трёх векторов:

x₁ y₁ z₁

= = x₂ y₂ z₂ ;

x₃ y₃ z₃

объём параллелепипеда: V_парал = │ │ ;

объём пирамиды: V_пирам = V_парал = │ │ ;

3) аналитическая геометрия на плоскости:

расстояние между двумя точками M₁(x₁ ; y₁) и M₂(x₂ ; y₂)

;

уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁ ; y₁) и M₂(x₂ ; y₂)

;

деление отрезка M₁M₂ в данном отношении λ

координаты середины отрезка (M₁M = MM₂ , т.е. λ = 1)

уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀ ; y₀) перпендикулярно

вектору ( )

A∙(x – x₀) + B∙(y – y₀) = 0 ;

уравнение прямой с угловым коэффициентом k и проходящей через

точку M₀(x₀ ; y₀)

y – y₀ = k∙(x – x₀) ;

острый угол между двумя прямыми y = k₁∙x + b₁ и y = k₂∙x + b₂

условие параллельности двух прямых: k₁ = k₂ ;

условие перпендикулярности двух прямых: k₁∙k₂ = −1 ;

расстояние от точки M₀(x₀ ; y₀) до прямой A∙x + B∙y + C = 0

площадь треугольника с вершинами A(x₁ ; y₁) , B(x₂ ; y₂) , C(x₃ ; y₃)

или в другом виде то же самое

x₁ y₁ 1

S_∆ABC = , где D = x₂ y₂ 1 ;

x₃ y₃ 1

уравнение окружности радиуса R

(x – a)² + (y – b)² = R² ; центр в точке A(a ; b)

x² + y² = R² ; центр в точке O(0 ; 0)

4) аналитическая геометрия в пространстве:

расстояние между двумя точками M₁(x₁ ; y₁ ; z₁) и M₂(x₂ ; y₂ ; z₂)

;

уравнение прямой в каноническом виде, проходящей через две точки

M₁(x₁ ; y₁ ; z₁) и M₂(x₂ ; y₂ ; z₂)

;

деление отрезка M₁M₂ в данном отношении λ

координаты середины отрезка (M₁M = MM₂ , т.е. λ = 1)

уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀ ; y₀ ; z₀)

перпендикулярно вектору

( )

A∙(x – x₀) + B∙(y – y₀) + C∙(z – z₀) = 0 ;

расстояние от точки M₀(x₀ ; y₀ ; z₀) до плоскости A∙x + B∙y + C∙z + D = 0

уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M₁(x₁ ; y₁ ; z₁) , M₂(x₂ ; y₂ ; z₂) , M₃(x₃ ; y₃ ; z₃) :

x – x₁ y – y₁ z – z₁

x₂ – x₁ y₂ – y₁ z₂ – z₁ = 0 ;

x₃ – x₁ y₃ – y₁ z₃ – z₁

уравнение сферы радиуса R

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ; центр в точке A(a ; b ; c)

x² + y² + z² = R² ; центр в точке O(0 ; 0 ; 0)

Разное

1. Формулы сокращённого умножения:

(a + b)² = a² + 2∙a∙b + b² ;

(a − b)² = a² − 2∙a∙b + b² ;

a² − b² = (a − b)∙(a + b) ;

(a + b)³ = a³ + 3∙a²∙b + 3∙a∙b² + b³ = a³ + b³ + 3∙a∙b∙(a + b) ;

(a − b)³ = a³ − 3∙a²∙b + 3∙a∙b² − b³ = a³ − b³ − 3∙a∙b∙(a − b) ;

a³ + b³ = (a + b)∙(a² − a∙b + b²) ;

a³ − b³ = (a − b)∙(a² + a∙b + b²) ;

2. Арифметическая прогрессия

3. Геометрическая прогрессия

убывающая геометрическая прогрессия:

4. Наименьшие положительные периоды

y = A∙sin(a∙x + b);

y = A∙cos(a∙x + b);

y = A∙tg(a∙x + b);

y = A∙ctg(a∙x + b);

y = {x};

5. Теоремы о периодических функциях:

1) Если несколько периодических функций имеют один и тот же

период T, то сумма, произведение и частное этих функций также

периодические с тем же периодом T.

2) Периодом суммы, произведения и частного нескольких

периодических функций будет наименьшее общее кратное

периодов отдельных функций.

В случае суммы полученный период будет наименьшим

положительным.

В случае произведения или частного полученный результат

будет положительным периодом, но не всегда наименьшим.

6. Теорема Виета для кубического уравнения

x³ + p∙x² + q∙x + f = 0;

x₁ + x₂ + x₃ = −p;

x₁∙x₂ + x₁∙x₃ + x₂∙x₃ = q;

x₁∙x₂∙x₃ = −f;

7. Решение диофантовых уравнений a∙x + b∙y = c ,

где a, b, c – известные целые числа; x, y – неизвестные целые числа;

1) если a, b, c имеют общий множитель, то на него надо сократить

обе части уравнения;

2) коэффициенты a и b должны быть взаимно простыми, так как в

противном случае уравнение не имеет целых решений;

(числа называются взаимно простыми, если они не имеют

общих делителей)

3) находим любое целочисленное решение данного уравнения

x = x₀ и y = y₀.

Тогда общие решения имеют вид:

x = x₀ − b∙n;

y = y₀ + a∙n;

где n Z , т.е. n – любое целое число;

8. Рациональные корни уравнения

Теорема: если рациональное число является корнем

алгебраического уравнения с целыми коэффициентами

a₀∙xⁿ + a₁∙x^n-1 + a₂∙x^n-2 + … + a_n-1∙x + a_n = 0 , то

p является делителем свободного члена a_n ;

q является делителем старшего коэффициента a₀ ;

9. Схема Горнера

предназначена для деление многочлена на разность (x – a)

1) 3∙x⁴ − 2∙x³ + x – 4 на (x – 2) ( a = 2 )

	3	−2	0	1	− остаток R 4
2 a	3	4	8	17	3 0

умножаем слева направо и прибавляем сверху;

Вывод: 3∙x⁴ − 2∙x³ + x – 4 = (x – 2)∙(3∙x³ + 4∙x² + 8∙x + 17) + 30 ;

2) 5∙x⁴ + 11∙x³ − 13∙x² − 8∙x − 15 на (x + 3) (a = −3, т.к. x + 3 = x−(−3) )

	5	11	−13	−8	−15
− 3	5	−4	−1	−5	0

Вывод: 5∙x⁴ + 11∙x³ − 13∙x² − 8∙x – 15 = (x + 3)∙(5∙x³ − 4∙x² – x − 5) ;

10. Разложение многочлена по степеням (x – a) при помощи

схемы Горнера

разложить P(x) = 5∙x⁴ − 3∙x² + 4∙x + 2 по степеням (x + 2)

	5	0		−3	4		2
−2	5	−10		17	−30		62
−2	5	−20		57	−144
−2	5	−30		117
−2	5	−40
−2	5

Ответ: P(x) = 5∙(x + 2)⁴ − 40∙(x + 2)³ + 117∙(x + 2)² − 144∙(x + 2) + 62 ;

11. Соединения и бином Ньютона

факториал n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙…∙ (n − 2)∙(n − 1)∙n ;

размещения

перестановки

сочетания

во всех формулах n ≤ m ;

Треугольник Паскаля (биномиальные коэффициенты)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

и т. д.

12. Производные пропорции

Если , то: