Производная (укр. Похідна)
1. Определение производной:
Производной данной функции y = f(x) по аргументу x называется
предел отношения приращения функции ∆y к приращению
аргумента ∆x , когда последнее произвольным образом стремится
к нулю, т.е.
формула для приращения функции ∆y = f(x + ∆x) – f(x);
Обозначения производной:
y
' ; y 'x
; f '(x) ; f 'x(a)
; y ' = 5 ; y '(2) = 5 ;
x = 2
;
;
;
y '' ; y ''' ; yIV ; yV ; y(7) ; y(n) ;
;
;
;
;
Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
2. Геометрическая интерпретация производной:
Тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке дифферен −
цирования (угол отсчитывается от оси ox против часовой стрелки):
f '(x0) = tg α ;
y
y = f(x)
tg α1 > 0 ;
tg α2 < 0 ;
α1
α2
0
x0
x0
x
3. Таблица производных:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
4. Вычисление дифференциала функции
∆y
≈ dy;
(находим производную и умножаем на dx)
5. Приближённые вычисления с помощью дифференциала
f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f '(x0)∙∆x;
6. Уравнение касательной
y – y0 = (x – x0)∙f '(x0);
y = f(x) − данная функция;
M(x0 ; y0) − точка касания;
7. Монотонность функции
возрастание при y ' > 0;
убывание при y ' < 0;
8. Экстремумы функции
а) критические точки: y ' = 0 или y ' не существует;
б) характер экстремума:
если при переходе слева направо производная меняет свой знак
с “+” на “−” , то функция имеет max в этой точке;
если при переходе слева направо производная меняет свой знак
с “−” на “+” , то функция имеет min в этой точке;
или
max при y ''(x0) < 0;
min при y ''(x0) > 0;
9. Выпуклость,
вогнутость и точки перегиба графика
функции
кривая выпукла
при y
'' < 0;
кривая вогнута при y '' > 0;
точки перегиба при y '' = 0 или когда y '' не существует
(точка перегиба A – это граница между
выпуклостью и вогнутостью графика функции, см. рисунок:)
A
°
10. Правило Лопиталя
( для
раскрытия неопределённостей вида
или
)
11. Производная в физике
S = S(t) − путь;
v = v(t) − скорость;
a = a(t) − ускорение;
t − время;
