- •Часть 1
- •Часть 1. Логика высказываний. Логика предикатов. Учебное пособие – Калининград: кгту, 2001, с.140
- •1.Логика высказываний
- •1.1 Алгебра высказываний
- •1.1.1 Логические операции
- •1.1.2 Правила записи сложных формул
- •1.1.3 Законы алгебры логики
- •1.1.4 Эквивалентные преобразования формул
- •1.1.5 Нормальные формы формул
- •Шаг 2. Продвинуть отрицание до элементарной формулы (пропозициональной переменной) по правилам:
- •1.1.5.2 Алгоритм преобразования днф к виду сднф.
- •1.1.5.3 Алгоритм преобразования кнф к виду скнф.
- •1.2 Исчисление высказываний
- •1.2.1 Интерпретация формул
- •1.2.2 Аксиомы исчисления высказываний
- •1.2.3 Правила вывода
- •1.2.3.1 Правила подстановки
- •1.2.3.2. Правила введения и удаления логических связок
- •1.2.3.3 Правила заключения
- •1.3. Метод дедуктивного вывода
- •Принцип резолюции
- •1.4.1 Алгоритм вывода по принципу
- •Проблемы в исчислении высказываний
- •1.6 Описание высказываний на языке prolog
- •Расчетно-графическая работа
- •2. Логика предикатов
- •2.1 Алгебра предикатов
- •2.1.1 Логические операции
- •2.1.2 Правила записи сложных формул
- •2.1.3 Законы алгебры предикатов
- •2.1.4 Предваренная нормальная форма
- •2.1.4.1 Алгоритм приведения формулы к виду пнф
- •2.1.5 Сколемовская стандартная форма
- •2.1.5.1 Алгоритм Сколема
- •2.2. Исчисление предикатов
- •2.2.1 Интерпретация формул
- •2.2.2 Правила вывода
- •2.2.2.1 Правила подстановки
- •2.2.2.2 Правила введения и удаления кванторов
- •2.2.2.3 Правила заключения
- •2.2.3 Метод дедуктивного вывода
- •2.2.4 Принцип резолюции
- •2.3 Проблемы в исчислении предикатов
- •2.4 Логическое программирование
- •Расчетно-графическая работа
- •Алгоритм вывода по принципу резолюции, 69
- •Высказывание, 5, 78 Высказывательная функция, 85
2.1.3 Законы алгебры предикатов
Формулы называют равносильными, если при любых подстановках предметных постоянных они принимают одинаковое значение. Если две формулы F1 и F2 равносильны, т.е F1=F2, то они эквивалентны.
Если формула алгебры предикатов F имеет вхождением подформулу Fi , т.е. F( t1; t2;; Fi; ), для которой существует экви -валентная ей подформула Fj т.е. Fi = Fj, то возможна подстановка всюду в формулу F вместо формулы Fi подформулу Fj без нарушения истинности формулы, т.е.
F( t1; t2;; Fi; )= F( t1; t2;; Fj; ).
Если в законах логики высказываний вместо имеющихся пропозициональных переменных всюду подставить предикаты так, чтобы вместо одной и той же пропозициональной переменной стоял один и тот же предикат, то получится закон логики предикатов.
Основные законы эквивалентных преобразований алгебры предикатов представлены в таблице.
-
Наименование закона и правила
Равносильные формулы
Fi=Fj
коммутативности
xy(F2(x; y))=yx(F2(x; y))*);
xy(F2(x; y))=yx(F2(x; y))*).
*) только для одноименным кванторов.
дистрибутивности
x(F1(x))x(F2(x))=x(F1(x)F2(x))*);
x(F1(x))x(F2(x))=x(F1(x)F2(x))**);
*)для логической связки “” формул только с кванторами по одной переменной x.
**)для логической связки “” формул только с кванторами по одной переменной x.
идемпотентности
{;}
x(F(x)) x(F(x))= x(F(x));
x(F(x))x(F(x))= x(F(x))
исключенного третьего
x(F(x))x(F(x))=и, где {;}
противоречия
x(F(x))x(F(x))=л, где {;}
де Моргана
x(F(x))=x(F(x)); x(F(x))=x(F(x))
дополнения
(x(F(x)))= x(F(x)), где {;}
свойства констант
x(F(x)) и=и; x(F(x))л=x(F(x));
x(F(x))л=л; x(F(x))и=x(F(x)),
где {;}.
Пример: F=x1x2(P1 (х1)x3 (P22. (х1; x3)P23(x2;x3))).
Упростить формулу.
выполнить операцию отрицания формулы:
F=x1x2(P1 (х1)x3 (P22. (х1; x3)P23(x2;x3)));
выполнить операцию отрицания формулы:
F=x1x2(P1 (х1)x3 (P22. (х1; x3)P23(x2;x3)));
3) удалить логическую связку “”:
F=x1x2(P1 (х1)x3 (P22. (х1; x3)P23(x2;x3)));
4) выполнить операцию отрицания формулы:
F=x1x2(P1 (х1) x3 (P22. (х1; x3)P23(x2;x3)));
5) выполнить операцию отрицания формулы:
F=x1x2(P1 (х1) x3(P22. (х1; x3)P23(x2;x3)));
6) выполнить операцию отрицания формулы:
F=x1x2(P1 (х1) x3 (P22. (х1; x3)P23(x2;x3)));
перенести квантор x3 влево:
F=x1x2x3 (P1 (х1) P22. (х1; x3)P23(x2;x3)).
Пример: F=x(P1(х)P2(х))(x(P1(х)) x(P2(х))).
Упростить формулу.
удалить логическую связку “”:
F=(x(P1(х)P2(х)))(x(P1(х)) x(P2(х)));
выполнить операцию отрицания формулы:
F=x((P1(х)P2(х)))) x(P1(х))x(P2(х)));
выполнить операцию отрицания формулы:
F=x(P1(х)P2(х))x(P1(х))x(P2(х)));
4) применить закон дистрибутивности по квантору x:
F=x(P1(х)P2(х)P2(х))x(P1(х));
5)применить закон дистрибутивности к формуле:
F=x((P1(х)P2(х))(P2(х)P2(х)))x(P1(х));
6) применить закон исключенного третьего и свойство констант для логической связки “”:
F=x((P1(х)P2(х)))x(P1(х));
7) применить закон де Моргана:
F=x((P1(х)P2(х)))x(P1(х));
8) применить закон дистрибутивности по квантору x:
F=x(P1(х))x(P2(х))x(P1(х));
9) применить закон исключенного третьего:
F=x(P2(х))и;
применить свойство констант для логической связки “”:
F=и,
т.е. формула F=x(P1(х)P2(х))(x(P1(х))x(P2(х))) является тождественно истиной.