Лабораторна робота №2 Застосування теорії ігор для вибору оптимального рішення у конфліктних ситуаціях

I. Загальні положення

В умовах ринкової економіки все частіше виникають конфліктні ситуації, коли два або більше колективи (індивідуми) мають протилежні цілі та інтереси, при чому результат дій кожної із сторін залежить від дій супротивника. Математична теорія ігор використовується для вибору оптимального рішення, наприклад, при утворенні раціональних запасів матеріалів, напівфабрикатів, в питаннях якості продукції, тощо. В першому випадку можна поставити дві протилежні задачі: збільшення запасів, в тому числі і страхових, які гарантують безперебійну роботу виробництва; скорочення запасів, забезпечення мінімальних затрат на їх зберігання. В другому - збільшення випуску продукції, що знизить трудові затрати; підвищення якості, що призведе до зростання трудових затрат. В машинобудуванні напрямками, які протидіють один одному, є, з однієї сторони, максимальна економія металу в виробі, і з другої - забезпечення достатньої його надійності. В сільському господарстві теорія ігор може застосовуватись при рішенні економічних задач, в яких протидіючою силою виступає природа, і тоді ймовірність здійснення події багатоваріантна або невідома. Природні умови впливають і на ефективність роботи промислових підприємств.

II. Теоретичні відомості

Моделі конфліктних ситуацій називаються іграми. Кожна гра має мету, яку прагнуть досягти гравці, а також сукупність правил, які визначають:

• інформацію, якою володіє гравець у певний момент часу;

• можливі способи дії гравців;

• ступінь досягнення мети гри після реалізації вибраного способу дії і її імовірність.

Сукупність способів дії визначає стратегію кожного гравця. Отже, стратегія гравця – це план, за яким він здійснює вибір у будь-якій можливій ситуації, керуючись тою чи іншою інформацією. Ігри будуються за певними правилами і відбуваються в результаті певної кількості ходів. Ходом теорії ігор називають вибір однієї з можливих, визначених правилами гри дій і реалізацію цієї дії. Кожному ходові гравців відповідає певний виграш (або програш), який вони одержують (або сплачують). Завдання кожного гравця – знайти оптимальну стратегію, яка за умови багаторазового повторення гри забезпечить йому максимально можливий середній виграш.

Нехай: А і В – два гравці, стратегії гравця А – Аі (і=1,m) і В – Ві (j=1,n).

Результати (плата) за всіма варіантами гри задаються спеціальними функціями, які залежать від стратегій гравців і вигляді платіжної матриці. Виграш гравця А - ₁(А_і, В_j), виграш гравця В - ₂(А_і, В_j). Розглянемо ігри з нульовою сумою, тобто має місце умова

₁(А_і, В_j) + ₂(А_і, В_j) =0 або ₁(А_і, В_j) =  ₂(А_і, В_j) =  (А_і, В_j).

Отже мета гравця А максимізувати  (А_і, В_j), а гравця В – мінімізувати  (А_і, В_j).

Позначимо  (А_і, В_j) = а_ij і розглянемо матрицю А.

, де рядки стратегії гравця А(Аі), а стовпці - стратегії гравця В(Вj)

Матриця А називається платіжною матрицею, або матрицею гри, кожний елемент якої – це виграш гравця А, якщо він обрав стратегію Аі, а гравець В вибрав стратегію В_j.

Існує багато критеріїв вибору раціональних варіантів, найпоширенішим є критерій мінімаксу – максиміну (песимістичний).

Суть критерію полягає в наступному. Нехай гравець А вибрав стратегію Аі, тоді він в найгіршому випадку отримає виграш, що дорівнює min a_ij. Якщо навіть гравець В знає його стратегію, гравець А має діяти таким чином, щоб максимізувати свій мінімальний виграш

= (2.1)

Таку стратегію гравця називають максимінною, а розмір його гарантованого виграшу – нижньою ціною гри. Гравець В, який програє суми в розмірі елементів платіжної матриці має обрати таку стратегію, що мінімізує його максимально можливий програш за всіма варіантами дій гравця А. Стратегію гравця В називають мінімаксною. Розмір його програшу – верхня ціна гри:

= (2.2)

Оптимальний розв’язок цієї задачі досягається тоді, коли жодній стороні не вигідно змінювати обрану стратегію, оскільки суперник у відповідь обрати іншу стратегію, яка дасть йому кращий результат.

Якщо має місце

= v, (2.3)

то гра називається цілком визначеною, або грою із сідловою точкою.

В такій ситуації стратегії гравців називаються чистими.

Якщо гра не має сідлової точки, тобто , , то стратегії не є оптимальними: кожна із сторін може поліпшити свій результат, обираючи інший підхід. У цьому випадку оптимальний розв’язок гри знаходять застосовуючи змішані стратегії, який є комбінацією початкових.

Ймовірності або частоти вибору кожної стратегії задаються відповідними векторами. Для гравця А: Х=(х₁, х₂, …. х_m), і має місце умова . Для гравця В: Y=(y₁, y₂, …. y_m), і має місце умова . Очевидно x_i ≥0 ,y_j ≥ 0 ( .

Практичний інтерес представляють ігри без сідлової точки, розв’язок якої зводиться до застосування гравцем змішаних стратегій, тобто гравець випадковим чином повинен застосовувати то одну, то іншу стратегію.

Задача полягає в знаходженні вектора частот (ймовірностей) для гравців А і В при умові, що задана платіжна матриця А.

Оскільки оптимальні стратегії гравців дозволяють отримати виграш v - , то використовуючи оптимальну змішану стратегію

, j=1,n (2.4)

гравець А має отримувати виграш не менший ніж v у випадку коли гравець В застосовує будь-яку стратегію.

Відповідно використання оптимальної змішаної стратегії гравцем В має за будь-яких стратегій гравця А забезпечувати програш гравця В, що не перевищує ціни гри v:

, i=1,m. (2.5)

Постановка задачі зводиться до задачі лінійного програмування з функцією мети виду: max z = v при умові (1.1), х_і ≥ 0. Необхідно визначити вектор з елементами х_і, а також невідому ціну гри.

Запишемо умову (1) у вигляді системи лінійних нерівностей:

(2.6)

Поділивши праву і ліву частину на v, введемо позначення t_i=х_i/v, отримаємо:

(2.7)

. Отже . Звідси , так як .

Отже цільова функція матиме вигляд max v = min . Розв’язками задачі лінійного програмування (2.7) буде змішана оптимальна стратегія для гравця А.

Аналогічно для гравця В: j=1,n. Умова (2.2) у вигляді системи нерівностей матиме вигляд:

. (2.8)

Задача лінійного програмування (2.8) для визначення змішаної стратегії для гравця В буде двоїстою до задачі визначення змішаної оптимальної стратегії для гравця А.