§5 Функції Лагранжа та Гамільтона в ств

Якщо 4-швидкість вже визначено, то 4-імпульс треба виз­начати як

(1)

Так його й визначають, але визначення імпульсу згідно з (1) суперечить означенню функції Лагранжа , яким ми користувались у класичній механіці. Справді, для вільної матеріальної точки функція Лагранжа має вигляд :

Кожна компонента узагальненого імпульсу обчислюється згід­но з означенням як . Якщо обчислити, наприклад, компоненту р_х за цією формулою, то одержимо р_х = mv_x, що не збігається з (1), Причина в тому, що слід перевизначити функцію Лагранжа.

Механіку релятивістських частинок зручно будувати, ви­ходячи з принципу найменшої дії, добре відомого з класич­ної (нерелятивістської) механіки: реалізується такий рух, для якого інтеграл дії S набуває мінімального зна­чення.

Визначимо дію S для вільної матеріальної частинки. Оче­видно, що значення дії не повинно залежати від вибору си­стеми координат, тобто має бути лоренц-інваріантним. Однак для вільної частинки єдиним можливим інваріантом є інтер­вал. Отже

де враховано зв'язок (1), (3) між власним часом d та інтервалом ds. Таким чином,

_a — деяка, поки не визначена, стала. Як відомо, дія S пов'язана з функцією Лагранжа співвідношенням Тому функція Лагранжа вільної частинки має вигляд:

Для визначення сталої а скористаємось граничним нерелятивістським випадком, v/c —> 0:

Перший доданок є сталим, тобто не впливає на рух і може бути відкинутим. Другий має переходити на класичний ви­раз (2), звідки a = —me². Враховуючи також можливі по­тенціальні взаємодії, запишемо остаточно функцію Лагранжа релятивістської частинки маси m, що рухається із швидкістю v у потенціалі U:

Зроблене означення зобов'язує нас перевизначити відповід­ним чином енергію частинки та функцію Гамільтона, оскіль­ки ці величини з функцією Лагранжа нерозривно пов'язані. Справді, енергія матеріальної точки є:

При обчисленні було враховано, що просторові компоненти 4-імпульсу дорівнюють р = mv. Крім того, при малих швид­костях цей вираз переходить в (9)

Вираз для функції Гамільтона можемо отримати, якщо запишемо енергію через узагальнені координати та узагальнені імпульси:

(10)

Що для малих швидкостей переходить у

Перший доданок хоча й великий, але постійний (і не впливає на рівняння руху), а другий є добре відоме нерелятивістське значення енергії.

Отже, з усіма необхідними перевизначенями ми ввели 4-імпульс:

(12)

Відмітимо також ще одне співвідношення, яке можливо буде використовуватись у квантовій механіці та оптиці.

Просторові компоненти 4-імпульсу пов'язані з просторо­вими компонентами швидкості як

(13)

з іншого боку множник можемо, використовуючи (8) при U(r) = 0, записати як

і тому

Отже, вираз для 4-імпульсу можемо переписати у вигляді