§ 1 Геометрія 4—простору

Отримавши перетворення Лоренца, ми пересвідчились у тому, що світ, який нас оточує, має в дійсності чотири виміри (r,ct), а не три. Щоправда, відмінності трьохвимірної геомет­рії від чотирьохвимірної стають суттєвими лише при швид­костях, які можна порівнювати зі швидкістю світла. Проте нас турбує зараз лише принципова сторона цього питання.

А навіщо таку геометрію будувати? Причин, принаймні, дві. Перша — ця геометрія є об'єктивно існуючою, ми в цьо­му 4-просторі живемо, хоча до цього часу це не усвідомлю­вали. Є й друга причина. Звичайно, можна було б просто користуватись перетвореннями Лоренца і безпосередньо по­казати, що рівняння Максвелла відносно цих перетворень ін­варіантні. Але це далеко не найкращий вихід, бо крім рів­нянь Максвелла є інші рівняння — Шредінгера, Дірака та ін. А якщо нам потрібно записати деякі рівняння так, щоб вони гарантовано були б лоренц-інваріантні?

Очевидно, треба йти шляхом, який вибирали при побудові векторного числення. Справа в тому, що векторна форма за­пису є спосіб зображення векторних величин незалежно від перетворення системи координат (зсуву, повороту тощо). На­приклад, вирази

M=r×p, B= H (1)

не залежать від перетворень системи координат (на відміну від покоординатної форми запису).

Для трьохвимірного випадку ми побудували цілу низку понять, що можуть входити в ліву та праву частини рівності.

Величина	Зображення
Скаляр	ϕ
Вектор
Скалярний добуток
Векторний добуток
Градієнт	ϕ
Дивергенція
Оператор Лапласа
Ротор
…	…

Оскільки всі ці вели­чини при повороті систе­ми координат змінюють­ся однаковим чином, то в цілому рівняння не змі­нюються і від простих пе­ретворень координат фі­зичний результат не за­лежить. Аналогічним чи­ном введемо систему по­нять для 4-простору. То­ді, якщо показати, що де­яке рівняння містить ли­ше об'єкти чотирьохвимірного простору, то воно

гарантовано буде лоренц-інваріантним. Крім того, маючи від­повідний набір чотирьохвимірних об'єктів, ми зможемо буду­вати нові рівняння, що будуть лоренц-інваріантними.

Звертаємо увагу, що на відміну від евклідової геометрії у чотирьохвимірному просторі-часі мірою довжини є інтервал:

(2)

Нагадаємо, що в евклідовому 4-просторі такою мірою є:

(3)

де ω — четверта координата. Відмінність очевидна, але ці дві геометрії мають багато спільного.

Введемо низку правил та означень, якими будемо кори­стуватись, не виконуючи докладних обґрунтувань.

1.Сукупність координат події будемо вважати компонен­тами чотирьохвимірного радіус-вектора (вектор у чотирьох­вимірному просторі) та позначати:

, , , (4)

Часто також використовують позначення = (x,y,z,ct), або =(r,ct ).

2. Квадрат довжини цього вектора, як ми вже бачили, дорівнює:

(5)

Ця величина не змінюється при довільних поворотах чотирьохвимірної системи координат. Зокрема такими поворотами є й перетворення Лоренца. Не потребує спеціального доведен­ня той факт, що координатна частина інтервалу не змінюєть­ся при звичайних трьохвимірних поворотах навколо початку координат.

3. Зрозуміло, що 4-вектором може бути не лише сукупність координат деякої події. З геометричного погляду сукупність чотирьох чисел, що при довільних поворотах системи коор­динат (включаючи і перетворення Лоренца) змінюється так само як і, називають чотирьохвимірним вектором {4-век­тором) і позначають Аⁱ = (А, А⁴). Закон перетворення має вигляд:

Квадрат довжини довільного 4-вектора, очевидно, є величи­ною, що не змінюється при переходах (та поворотах) від од­нієї системи координат до іншої,

(7)

4. Для зручності запису вводять два типи величин: з ін­дексами зверху Aⁱ (контраваріантні) та з індексами внизу (коваріантні).

Визначимо зв'язок між коваріантними та контраваріантними компонентами 4-вектора наступним правилом:

, , (8)

Отже діє правило: підняття або опускання просторових ін­дексів не змінює знак компоненти, а переміщення часового індексу змінює знак на протилежний. Перехід від контра- до коваріантних компонент вектора можна подати в такому ви­гляді:

, (9)

Використовуючи ці позначення квадрат 4-вектора набуває форми:

(10)

У цих та аналогічних виразах прийнято знак суми не писа­ти, а мати на увазі, що якщо індекс повторюється двічі (один раз внизу і один раз вверху), то за ним необхідно взяти суму від 1 до 4. Такі індекси звуть німими.

Для ортогональних некосокутних координат різниці між коваріантними та контраваріантними величинами немає. Для координат косокутних різниця полягає в тому, що коваріантні компонен­ти утворюються при проектуванні точки шляхом опущення перпендикуляра, а контраваріантні — шляхом паралельного переносу (див. рис. 5.3).

y

A

x

Використовуючи коварі­антні та контраварі­антні позначення, можемо записати основну властивість 4-вектора (6) у ви­гляді:

або (11)

Тобто, якщо при поворотах системи координат (включаючи і лоренцеві), деяка сукупність чотирьох величин перетворюється вищезазна­ченим чином, то вона має право називатись вектором чотирьохвимірного простору. Вираз для матриці легко записати безпосередньо з перетворень Лоренца:

= (12)

5. Аналогічно до трьохвимірного випадку вводять поняття скалярного добутку:

= (13)

Взагалі, у парі німих індексів верхній та нижній індекс мо­жемо змінювати місцями. Введений таким чином скалярний добуток є скаляр і не змінюється при довільних поворотах системи координат.

6.Квадрат 4-вектора може бути додатним, від'ємним та дорівнювати нулеві. Відповідно до цього будемо називати 4-вектори просторовоподібними , часоподібними або нульови­ми.

7.Просторові компоненти 4-вектора утворюють звичайний 3-вектор А. Відносно трьохвимірного простору компонента А⁴ є скаляр. Квадрат 4-вектора часто позначають таким чи­ном:

(14)

8. Аналогічно до трьохвимірного випадку 4-тензором дру­гого рангу називають сукупність 16 величин, які при пере­твореннях координат перетворюються на добуток двох 4-векторів:

(15)

9.Компоненти 4-тензора другого рангу можуть бути зо­бражені у вигляді контраваріантному , коваріантному Т_ік або змішаному . При цьому діє загальне правило: підняття або опускання просторових індексів не змінює знак компо­ненти, а переміщення часового індексу змінює знак на про­тилежний:

, , , , (16)

10. Компоненти і,к =1,2,3 утворюють звичайний трьохвимірний тензор. Компоненти та (і =1,2,3) утворюють 3-вектори. Компонента Т⁴⁴ відносно трьохвимір­ного простору є скаляр.

11. Тензор називаємо симетричним, якщо та антисиметричним, якщо . В антисиметричного тензора всі діагональні компоненти нулеві (покажіть само­стійно).

12. Найважливіше правило, яким постійно користуються при обчисленнях: у всякій тензорній (зокрема і векторній) рівності вирази в обох частинах повинні містити однакові й однаково розташовані вільні індекси (до німих індексів це, звичайно, не відноситься). Вільні індекси можемо переміщу­вати вверх або вниз, але обов'язково одночасно у всіх частинах рівності. Прирівнювати коваріантні та контрваріантні величини не можна.

Один з простіших тензорів другого рангу це так званий матричний тензор:

(17)

Переходячи до іншої інерціальної системи координат за правилом (8), переконуємося, що цей тензор незмінний, тобто він є інваріант відносно перетворень Лоренца. За допо­могою метричного тензора зв'язок між коваріант­ними та контраваріант­ними компонентами 4-векторів набуває вигляду

(18)

Очевидно, що:

(19)