§ 3 Принцип відносності Ейнштейна

Експериментальне було надійно встановлено, що с = const у довільній інерціальній системі відліку і що не існує виділе­ної інерціальної системі відліку - всі інерціальні системи від­ліку рівноправні. Це дозволило Ейнштейну сформулювати принцип відносності, який пізніше назвали ейнштейнівським. у вигляді:

1. Усі фізичні закони та рівняння, сформульовані для однієї інерціальної системи відліку, не змінюють­ся при переході до іншої довільної інерціальної систе­ми відліку.

2. Швидкість світла не залежить від швидкості ру­ху спостерігача і в довільній інерціальній системі від­ліку дорівнює 3 · 10¹⁰ см/с.

З цих двох тверджень логічно випливають перетворення Лоренца.

Кінематика СТВ

§1 Перетворення Лоренца

Нехай маємо дві системи коор­динат: нерухому К та систему К'. що рухається відносно неї рівномі­рно і прямолінійно зі швидкістю V вздовж осі x (див. мал.1.). Не­хай у момент часу t = 0 (t' = 0) початки координатних систем збі­галися і в цей же момент з початку координат r = 0 (r' = 0) почала поширюватись сферична світлова хвиля (спалах світла).

K y K′ y′

v

x′

x

мал.(1)

z z′

У системі відліку К у момент часу t передній фронт світло­вої хвилі пройде відстань ct, а в системі К' у момент часу t' його шлях буде ct '. Тобто спостерігач системи К буде спо­стерігати передній фронт світлової хвилі як сферу радіуса ct і опише її рівнянням:

(1)

А спостерігач системи К' ту саму сферичну хвилю опише рівнянням:

(2)

Він опише її саме так. оскільки в системі координат К' світло поширюється з такою самою швидкістю с. Ці дві рівності показують. що величина:

=const (3)

є інваріант переходу (не змінюється при переході) від однієї інерціальної системи відліку до іншої. При поширенні світла по й інваріант дорівнює нулеві, але в інших випадках може бути і додатною, і від'ємною величиною, яка має спеціаль­ну назву — інтервал. Він визначає метрику простору-часу. Нагадаємо, що в трьохвимірному простору інваріантом пере­ходу від однієї системи координат до іншої є сума квадратів координат (відстань між точками не змінюється). Усі додан­ки такого інваріанта входять із однаковими знаками «плюс». А у виразі для інтервалу час війшов із знаком мінус — про­тилежний знак до знака просторових координат. Там. де всі квадрати мають однакові знаки — то геометрія Евклідова. а в даному випадку з'являється геометрія псевдоевклідова. От­же, суто фізичні міркування (і експериментальні дані) при­вели нас до іншого типу геометрії, а це, звісно, приведе до інших, частково невідомих нам наслідків.

Тобто перехід від однієї інерціальної системи координат до іншої можна собі уявляти як перехід від одних координат до інших у псевдоевклідовому просторі. Якщо йдеться про чисто координатний перехід, то майже очевидно, що тут все буде як у евклідовому випадку. Але коли одна з координат містить час (ct), то ситуація ускладнюється. Справді пере­творення просторової частини відбуваються, наприклад, при повороті плоских осей навколо початку координат і мають добре знайомий вам вигляд (2):

, (4)

Таке перетворення не змінює евклідову довжину:

(5)

Але перетворення, в якому бере участь час. зберігає іншу величину — інтервал. Можемо скористатись формулами плос­кого повороту, якщо записати інтервал у вигляді

(6)

Тоді формально можемо користуватись формулами плоского повороту, замінивши в них координату у на ict

ict= (7)

Ці. поки що формальні, перетворення можемо привести до дійсного вигляду, якщо пригадаємо, що гіперболічні функції від уявного аргументу пов'язані з тригонометричними відо­мим співвідношенням , . Введемо позначення = іφ і запишемо (13) у вигляді:

, (8)

Нас цікавить перетворення координат при русі вздовж осі х. При ньому, очевидно, перетворюються тільки координата x і час t. Отже, перетворення матимемо вигляд. Залиши­лось визначити тільки кут ψ.

Розглянемо рух початку координат системи Κ', тобто точ­ки х' = у' = z' = 0 відносно системи К. Спостерігач системи К бачить, що відносно нього ця точка рухається зі швидкістю V. Координати цієї точки в системі К рівні:

х = Vt, у = z = 0. Врахуємо ці співвідношення в (8) . Маємо:

(9)

Перша з цих рівностей дає, очевидно, = -V/с. А тому неважко обчислити і всі інші значення гіперболічних функ­цій:

, , (10)

Враховуючи співвідношення (9), (10) одержимо перетворення Лоренца:

, , , (11)

Для знаходження обернених перетворень потрібно розвязати рівняння (11) відносно х і t; однак можна їх отримати, користуючись простими фізичними міркуваннями — система К' рухається відносно системи К із швидкістю V (у додатньому напряму осі х). а система К рухається відносно систе­ми K' у бік від'ємних x із швидкістю - V. Тому зворотний перехід можемо викопати, помінявши місцями штриховані та нештриховані змінні й змінивши знак у швидкості відносного руху:

Для скорочення запису використовують стандартні у СТВ позначення:

У цих позначеннях перетворення Лоренца (11) має вигляд

, , , (14)

Необхідно звернути увагу на декілька обставин.

1. У перетвореннях (12,11) простір та час беруть рівноправну участь; найбільш симетризовану форму має перетворен­ня в позначеннях (14). Це незаперечне свідчить про те. що наш простір у дійсності чотирьохвимірний. Мається на увазі, що кожна просторова система координат крім позначок на осях повинна в кожній точці мати свій влас­ний годинник і показання всіх цих годинників мають бути синхронізовані. Не треба розуміти чотирьохвимірність як намагання «причепити» четверту координату до вже існуючих.

2. Для малих швидкостей V<< с перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея: тобто поняття часу наближається до абсолютного в границі V/c —> 0.

3. Претворения Лоренца не комутують. Результат зале­жить від порядку переходу між трьома рухомими си­стемами.

4. Ще одно суттєве зауваження, яке свідчить про чотирьохвимірніcть простору. З математичного погляду звичний нам трьохвимірний простір поступається своїми алге­браїчними властивостями як перед одно-, двох-, так і перед чотирьох- вимірними просторами. У курсі мате­матиці відома так звана теорема Фробенгуса, згідно з якою алгебру з чотирма математичними операціями (додавання, віднімання, множення і ділення) можна по­будувати лише, якщо вимірність простору дорівнює 1 (дійсні числа), 2 (комплексні числа), 1 (так звані кватерніони), 8 (октаніони). Для іншої вимірності побудува­ти повноцінну алгебру неможливо. Так, наприклад, для трьохвимірного простору (простору векторів) не можна коректно ввести операцію ділення.

Оскільки, зважаючи на все сказано, час не є абсолют­ним, то треба перш за все переглянути питання про син­хронізацію годинників чотирьохвимірного простору, а також і поняття одночасності.