Електродинаміка ств

§1 Рівняння для потенціалів у коваріантній формі

4-вектор струму

Розглянемо закон збереження заряду в диференціальній формі. Нагадаємо, що це рівняння є лоренц-інваріантним, оскільки воно – наслідок рівнянь Максвелла . Записавши його у вигляді

бачимо, що в (1) диференціювання йде за контраваріантними змінними (результуюча величина - коваріантна), тому вводячи до розгляду контраваріантний вектор

можемо написати (1) у вигляді скалярного добутку двох 4-векторів (адже при множенні цих векторів утворюється величина, що не залежить від системи спостереження-інваріант перетворення).

Таким чином, у коваріантній формі закон збереження заряду набуває вигляду

Тобто 4-дівергенція 4-вектора струму дорівнює нулеві. Користуючись загальним правилом (5.31) перетворення 4-векторів одержимо

Нехай у системі координат заряди були нерухомі, . Згідно з формулами перетворення (4) у лабораторній системі координат

У граничному випадку V<< c маємо класичний результат:

(6)

4-вектор потенціал

Розглянутий приклад для 4-струму можна розповсюдити на 4-потенціал. Пригадаємо лоренцеву калібровку і запишемо її також покоординатно:

що, очевидно, цілком аналогічно до попереднього випадку. Тому можемо побудувати ще один 4-вектор потенціал. Його просторова частина є векторний потенціал, а часова – скалярний. Лоренцева калібровка у коваріантному вигляді має досить компактний вигляд:

тобто знов нульове значення 4-дівергенція. Перетворення Лоренцо для мають вигляд

Побудуємо тепер рівняння для потенціалів у коваріантній формі. Завдяки тому, що оператор д’Аламбера є лоренц-інваріантним, можемо відразу переписати рівняння д’Аламбера як

Використовуючи релятивістські позначення і , маємо остаточно

Формула (5) – рівняння д’Аламбера для 4- вектора потенціалу.

§2 Тензор електромагнітного поля

Тільки що ми показали, що векторний потенціал А та скалярний потенціал утворюють 4-вектор. Для обчислення компонент магнітної індукції, треба визначити ротор від А. Нагадаємо, що аналогом ротора в СТВ є тензор. Позначивши 4-ротор як , запишемо , що

тому цей тензор антисиметричний: = (і відповідно всі діагональні елементи дорівнюють нулеві: ). Обчислимо його компоненти:

Аналогічним чином обчислюється решта компонент.

Тензор , який називають тензором електромагнітного поля, має вигляд

(3)

Вираз (4) є коваріантна форма запису тензора електромагнітного поля.

Звернемо увагу на різну симетрію «електричної» та «магнітної» частини тензора електромагнітного поля: компоненти вектора утворюються вектор-стовпчик та вектор-рядок у складі тензора електромагнітного поля. У той же час компоненти розташовані в у тензорній формі так, якби вони не утворювали вектор.

Причина полягає в тому, що електричне поле – справжній (полярний вектор), а магнітне – псевдовектор (аксіальний).

Взагалі, до полярних векторів відносять такі векторні величини, що змінюють знак при інверсії декартових осей координат. Таку властивість мають, очевидно, швидкість, прискорення, імпульс, електричне поле (адже ) і деякі інші. Але легко бачити, що такі векторні величини, як момент імпульсу, момент сили та взагалі ті, що пропорційні векторним добуткам, не змінюють знак при інверсії координат, оскільки у векторному добутку двох полярних векторів при інверсії кожний співмножник змінить знак , а добуток у цілому знак не змінить. Отже, такою простою та природною властивістю названі величини не наділені. Їх називають псевдовекторами, або аксіальними векторами. До таких звичайно належать і магнітне поле , магнітний момент і деякі інші величини.

Для пояснення їх матричної природи наведемо невеличкий суто математичний приклад. Нехай потрібно наведену нижче матрицю помножити справа на вектор -стовпчик. Зробити це не важко і результат записуємо одразу:

(5)

Результат множення такої спеціальної матриці на вектор - стовпчик дуже схожий на векторний добуток двох векторів: та . Проте, першим співмножником є наведений псевдовектор.

Таким чином, виявилось, що електричне та магнітне поля є єдина, нероздільна субстанція . Вони є компоненти однієї й тієї самої величини - тензора електромагнітного поля (3,4) . Магнітне поле є антисиметричний тензор другого рангу в трьохвимірному просторі, а електричне поле - трьохвимірний вектор. Отже теорія відносності допомогла виявити математичну природу магнітного поля.