Контрольные задания

Определить область сходимости ряда.

8.1. .

8.2. .

8.3. .

8.4. .

8.5. .

8.6. .

8.7. .

8.8. .

8.9. .

8.10. .

8.11. .

8.12. .

8.13. .

8.14.

8.15. .

8.16.

8.17.

8.18. .

8.19. .

8.20.

Контрольная работа №2

Тема 1. Случайные события

Основным понятием теории вероятности является понятие случайного события.

Случайным называется такое событие, которое может произойти или не произойти в результате данного опыта. Например, выпадение орла при бросании монеты — случайное событие.

Обозначим множество элементарных событий через . Любое подмножество множества называется событием.

Событие наступает тогда, когда результатом опыта является одно из элементарных событий, входящих в .

Пример 1. Пусть событие заключается в выпадении четного числа очков при однократном бросании игральной кости. Тогда элементарные события . Событие .

Суммой событий называется событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят или в событие или в событие , или в то и в другое. Суммой является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 2. Есть два лотерейных билета. Пусть событие — выигрыш по первому, событие — выигрыш по второму билету. Тогда есть выигрыш по одному из билетов или по обоим сразу.

Произведением событий называется событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят в оба события. Т.е. это событие состоит в осуществлении одновременно этих двух событий.

Событие является достоверным, если оно неизбежно произойдет в условиях данного опыта.

Пустое множество называется невозможным событием. Невозможным является событие, появление которого в условиях данного опыта исключается.

События и называют несовместными, если . Т.е. два события несовместны, если появление одного исключает появление другого и наоборот.

Пример 3. Игральную кость бросают один раз. Пусть событие — появление четного, — нечетного числа очков. События и несовместны.

Событие называют противоположным событию , если и .

События и называют эквивалентными, если .

События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и их сумма равна достоверному событию, т.е. если и .

Например, при однократном броске игральной кости события , заключающиеся в выпадении i-го числа очков (i=1, 2, 3, 4, 5, 6), образуют полную группу.

Классическое определение вероятности

Вероятность события — это численная мера объективной возможности его появления.

Если, в частности, множество всех элементарных событий состоит из равновозможных событий (т.е. событий образуют полную группу), то вероятность события равна числу элементарных событий, входящих , деленному на число всех событий, т.е.

. (1)

Случай равновозможных событий называется классическим, поэтому и формула (1) называется классическим определением вероятности.

Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие , называются благоприятными.

Из определения вероятности вытекают следующие свойства:

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

2.Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицу: .

4. Эквивалентные события имеют одинаковую вероятность.

5. , если .

При вычислении общего числа исходов опыта n и числа исходов m, благоприятных событию А, часто бывает необходимо пользоваться понятиями и формулами комбинаторики. Напомним основные из них.

Основная теорема комбинаторики. Пусть есть k действий, осуществляемых одно за другим. Пусть 1-ое действие можно осуществить числом способов, 2-ое — , ..., -ое— числом . Тогда общее число действий можно выполнить способами.

Пример 4. Сколькими способами можно из цифр 0,1,2,3,4 составить различные двузначные четные числа?

Чтобы число было четным, разряд единиц можно заполнить тремя способами; чтобы оно было двузначным, есть 4 варианта заполнения разряда десятков. Общее число способов составления двузначного четного числа .

Перестановкой из элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все различных элементов данного множества. Число перестановок различных элементов обозначается и вычисляется по формуле:

.

( Знак «!» читается как «факториал», по определению считается 0!=1.)

Пример 5. Сколькими способами можно составить различные пятизначные числа из цифр 1,2,3,4,5 без повторения?

Перестановкой пяти цифр можно составить =5!= пятизначных чисел.

Размещением из элементов по называется любое упорядоченное подмножество из элементов множества, состоящего из различных элементов, и обозначается . Размещения отличаются либо составом, либо порядком элементов. Число размещений из элементов по обозначается и вычисляется по формуле:

.

Пример 6. Сколькими способами можно выбрать старосту, профорга и культорга из группы 25 человек?

Перестановки по должностям внутри группы выбранных трех человек дают разные наборы, поэтому ответом на вопрос будет число размещений

.

Сочетанием из элементов по называется любое подмножество из элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из различных элементов. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Число сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:

.

Пример 7. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов конференции из группы 25 человек?

Необходимо выбрать из 25 человек группы по 3 человека, эти группы отличаются друг от друга только составом (все «должности» внутри группы одинаковы), поэтому будем считать число сочетаний .

Теперь вернемся к определению классической вероятности события А, вычисляемой по формуле (1).

Пример 8. Найти вероятность того, что при бросании трех монет выпадет ровно 2 орла.

Пусть событие А — выпадение 2 орлов. Подсчитаем общее число исходов опыта n. Каждая монета может лечь либо орлом (О), либо решкой (Р), т.е. имеется две возможности. По основной теореме комбинаторики общее число исходов . Событиями, благоприятными событию А, являются комбинации ООР, ОРО, РОО, =3. Вероятность того, что при бросании трех монет выпадет ровно 2 орла .

Пример 9. В классе 12 мальчиков и 10 девочек. На уроке опрошено четверо учеников. Какова вероятность того, что все они были мальчиками, если опрос любого ученика равновероятен?

Будем считать событием опрос четырех мальчиков. Выбрать четырех человек из класса можно = способами. Из них благоприятными событию являются способов. Следовательно,

.

Теоремы сложения вероятностей

Сформулируем основные теоремы.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий (т.е. ) определяется формулой:

.

Следствие 1. Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Пример 10. В урне находится 12 белых, 7 красных и 11 черных шаров. Извлекают 1 шар. Найти вероятность того, что он не белый.

Пусть событие заключается в извлечении из урны красного, событие —черного шаров, событие С — извлечение не белого шара. События и несовместны, .

Эту задачу можно было решить, рассуждая иначе. Если событие — извлечение из урны белого шара, то противоположным ему является событие — извлечение шара не белого цвета. Поскольку , то

.

Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

.

Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей

Вероятность того, что произошло событие при условии, что произошло, называется условной вероятностью события и обозначается или .

Теорема 3. Вероятность произведения двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое произошло:

.

Следствие. Для любых и справедлива формула

.

Пример 11. Студент знает 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что он правильно ответит на предложенные ему подряд 2 вопроса?

Пусть событие заключается в том, что студент знает первый вопрос, событие — знает второй вопрос.

, (т.к. после первого ответа осталось 24 вопроса, из которых студент знает 19). Тогда вероятность того, что он знает оба вопроса равна

= .

Два события называются независимыми, если появление любого из них не меняет вероятности появления другого, т.е.

.

Теорема 4. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей: .

Пример 12. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна . Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

Пусть событие А — в первую смену станок будет работать без неполадок, 1–0,05=0,95. События B и C — бесперебойная работа во вторую и третью смены, 1-0,05=0,95. Событие, заключающееся в том, что за три смены не произойдет ни одной неполадки станка, состоит в совместном наступлении событий A,B и C. События A,B и C независимы, поэтому

.

Пример 13 . В одной урне 5 белых и 10 красных шаров, во второй — 10 белых и 5 красных. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика был вынут белый шар, если из каждого извлечено по одному шару.

Пусть событие — белый шар извлечен из первой урны, событие — белый шар извлечен из второй. События и совместны, поэтому

.

Формула полной вероятности

Теорема. Если событие может наступить только совместно с появлением одного из событий некоторой полной группы несовместных событий (события этой группы называют гипотезами), то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности .

Или, кратко:

где — вероятность гипотезы , — условная вероятность события при условии осуществления i -ой гипотезы, .

Пример 14. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что он белый, если первоначальный состав шаров по цвету мог быть любым.

Пусть событие — извлечение белого шара. Рассмотрим гипотезы о первоначальном составе шаров в урне: ={в урне было 2 белых шара}, ={в урне был 1 белый шар}, ={в урне белых шаров не было}.

Гипотезы образуют полную группу событий, т.к. эти события единственно возможны и попарно несовместны, .

В условиях неопределенности считаем, что гипотезы равновозможны, поэтому . Рассмотрим вероятность извлечения белого шара при реализации каждой из гипотез: = . По формуле полной вероятности

.

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как стало известно, что событие А наступило:

, где — вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, — вероятность гипотезы накануне испытания, — вероятность события А при осуществлении этой гипотезы, — полная вероятность.

Пример 15. В отдел технического контроля поступают детали из двух цехов. Производительность первого цеха вдвое больше, чем во втором. Процент бракованных изделий составляет для первого цеха 5%, для второго — 3%. Взятая на проверку деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена в первом цехе?

Пусть событие А — выбранная деталь бракованная, гипотеза — она изготовлена в первом цехе, гипотеза — во втором. Гипотезы и образуют полную группу. , , , . Найдем полную вероятность: . Тогда .

Независимые испытания. Формула Бернулли

Пусть проводится n повторных независимых испытаний (т.е. исход в каждом испытании не зависит от исходов в других испытаниях), вероятность появления события А в каждом из них неизменна и равна p. Тогда вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз, определяется формулой Бернулли:

, где .

Пример 16. Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что не менее четырех раз выпадет цифра 6?

Событие А заключается в выпадении цифры 6, в каждом испытании . Условие того, что цифра 6 выпадет не менее 4 раз означает, что она выпадет 4 или 5 раз.

.