Пример решения системы всеми тремя методами

Решить систему линейных алгебраических уравнений методами Крамера, Гаусса и матричным методом.

1. Метод Крамера.

Количество уравнений (3) равно количеству переменных (3), значит, матрица системы квадратная и имеет определитель.

Вычислим определитель матрицы системы:

- значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера: , .

Заменяем 1–й столбец столбцом свободных членов

Заменяем 2-й столбец столбцом свободных членов

Заменяем 3-й столбец столбцом свободных членов

Ответ: .

2. Матричный метод.

Данную систему уравнений можно записать в матричной форме :

, откуда .

Найдем матрицу, обратную матрицу . Так как , такая матрица существует. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы по формуле :

; ; ;

; ; ;

; ; .

Тогда

.

А теперь найдем решение системы:

.

Ответ: .

3. Метод Гаусса.

Выполним преобразования:

Сделаем коэффициенты при х равными нулю.

Т.к. коэффициенты при z во II и III уравнениях системы равны, то можно из III уравнения вычесть II уравнение.

Таким образом, получили, что II уравнение системы есть уравнение с одной переменной, значит, можно вычислить значение переменной у.

Теперь последовательно, с помощью подстановки, вычисляем значения

переменных z и х.

Ответ: .

Упражнения для самостоятельного решения

• Необходимые условия применения метода Крамера:

1. Количество уравнений системы должно равняться количеству неизвестных.

2. Определитель основной матрицы системы не должен равняться нулю: .

Решение по правилу Крамера находят по формулам:

, где , где ,

а - определитель, который получается из основного определителя матрицы заменой - го столбца столбцом свободных членов системы.

• При решении системы матричным способом сначала надо найти . Система имеет решение при условии . Затем ищут обратную матрицу к матрицу : . После этого умножают на матрицу – столбец свободных членов системы:

Полученная при этом матрица-столбец и является решением системы.

• Метод Гаусса состоит в приведении системы к треугольному виду. Для системы, состоящей из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными метод Гаусса выглядит так: исключаем из 2-го и 3-го уравнений системы: затем исключаем из 3-го уравнения и решаем полученную систему.

Решить каждую систему линейных алгебраических уравнений всеми тремя

способами:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Вопросы для самопроверки

1. Операции над матрицами.

1.1. Что такое матрица?

1.2. Какие виды матриц Вы знаете?

1.3. Что означает размер матрицы mn?

1.4. Какую матрицу называют квадратной?

1.5. Какие две матрицы можно сложить?

1.6. Когда две матрицы можно перемножить?

1.7. Матрицу какого вида можно возвести в степень?

1.8. В чем суть транспонирования матрицы?

1.9. При транспонировании размер матрицы не изменился. Матрицу какого вида транспонировали?