VI. «методы решения линейных неоднородных алгебраических уравнений »
«Метод Крамера».
Теорема
Крамера: Пусть определитель
матрицы
системы
, а
j
– определители матриц, получаемых
из данных заменой j-го
столбца на столбец свободных членов.
Тогда, если
,
то система имеет единственное решение,
которое вычисляется по формулам КРАМЕРА:
,
где j=1; …;
Алгоритм метода Крамера |
Пример. Решить
систему уравнений методом Крамера:
|
|
1. Записать матрицу системы и найти ее определитель , если = 0 , то система решений не имеет. |
1. |
|
2. Если , то находим j, заменяя j-й столбец столбцом свободных членов. |
2.
|
|
3. По формулам Крамера находим х
|
|
|
система
имеет единственное решение.
:
Ответ:
«Матричный метод».
Если
определитель матрицы
системы
,
то матрица системы невырожденная, а
значит, имеет обратную матрицу
.
Умножим обе части матричного равенства
на обратную матрицу
слева, получим равенство:
,
или
,
откуда
- равенство, выражающее суть
матричного метода.
Алгоритм матричного метода |
Пример: Решить систему матричным методом.
|
1. Записать матрицу системы и найти ее определитель. Если определитель равен нулю, то система не имеет решений. |
|
2. Ищем матрицу
,
обратную матрице
системы по формуле
|
Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями:
Теперь запишем
|
3. Ищем матрицу – столбец
|
|
-система
имеет решение, матрица системы имеет
обратную.
,
где
связана с
(нужно транспонировать матрицу
).
;
,
и так и оставляем (для удобства
последующих вычислений).
значений переменных системы по формуле
Ответ:
.
«Метод Гаусса».
Или метод последовательного исключения переменных - заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данная система уравнений приводится к равносильной системе уравнений ступенчатого (треугольного) вида, из которой, последовательно, начиная с последней переменной, находятся все остальные переменные.
Системой треугольного (ступенчатого) вида называется система вида
Получают такую систему с помощью следующих элементарных преобразований систем линейных неоднородных алгебраических уравнений:
изменение порядка уравнений системы,
умножение или деление обеих частей любого уравнения системы на одно и то же не равное нулю число,
почленное сложение уравнений системы.
Пример. Решить данную систему методом Гаусса.
|
Пояснения по ходу решения. |
|
Сделаем III-е уравнение системы I-м. |
|
Сделаем коэффициенты при х1 равными нулю с помощью элементарных преобразований 2. и 3. |
|
Сделаем IV-е уравнение системы II -м. |
|
Сделаем коэффициенты при х равными нулю с помощью элементарных преобразований 2. и 3. |
|
Получили IV-е уравнение
как уравнение с одной переменной,
решая его, найдем значение переменной
х |
Ответ:
|
Из последнего уравнения, подставляя найденное значение переменной х , находим значение переменной х4 , подставляем его во II уравнение и находим из этого уравнения значение переменной х , затем с помощью подстановки в уравнение I находим значение переменной х1.Записываем ответ.
|
.