Упражнения для самостоятельного решения

1. Проверить, что ранги указанных матриц равны 2, 3, 2, 1

соответственно:

2. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг указанных матриц:

IV. «обратная матрица».

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении матрицы на матрицу как справа, так и слева, получается единичная матрица:

Замечание: Только квадратная матрица имеет обратную. Матрица, обратная данной, тоже квадратная.

Определения: 1. Если определитель матрицы ≠ 0, то матрица называется невырожденной или неособенной.

Если определитель матрицы =0, то матрица называется вырожденной или особенной.

2. Присоединенная матрица , получается из матрицы , транспонированной по отношению к матрице , заменой элементов матрицы на их алгебраические дополнения.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы):

Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. . Ее элементы вычисляются по формуле: .

Алгоритм построения обратной матрицы Вычислим определитель данной матрицы . Если , то для данной матрицы не существует обратной. Если , строим матрицу , транспонированную по отношению к матрице , заменяя строки матрицы А ее столбцами. Строим присоединенную матрицу , заменяя элементы матрицы их алгебраическими дополнениями по формуле Вычисляем обратную матрицу по формуле При необходимости проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения .

Пример: . Найти .

данная матрица имеет обратную.

.

; ; ; ; ; ; ; ; . Получили присоединенную матрицу: .

4. .

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти матрицу, обратную данной:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

Проверить для матриц B и D правильность нахождения обратной матрицы (должны быть верными равенства: ).

V. «СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ»

-

- система m линейных уравнений с n переменными, где произвольные числа - коэффициенты при переменных, - свободные члены уравнений.

Решением такой системы называется совокупность значений переменных х₁, …, х_n, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными, если они имею одно и тоже множество решений.

Получают их с помощью элементарных преобразований:

1. изменение порядка уравнений в системе;

2. умножение или деление обеих частей любого уравнения системы на одно и то же неравное нулю число;

3. почленное сложение уравнений системы.

Рассматриваемую систему уравнений можно записать в матричной форме:

, где

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы;

Х – матрица–столбец переменных;

В – матрица–столбец свободных членов, т.е.

; ; .

Мы будем рассматривать системы, где m=n, т.е. количество уравнений в системе и количество входящих в них переменных равны. Тогда матрица А системы квадратная и имеет определитель , который называют определителем системы.

Такие системы можно решить одним из трех следующих методов:

1. метод Крамера;

2. матричный метод;

3. метод Гаусса.