III. «ранг матрицы»

Для решения и исследования некоторых математических и прикладных задач большое значение имеет понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера .

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где (меньшего из т и п). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Один элемент матрицы называют минором первого порядка.

Из матрицы А размером можно получить подматрицы 1-го, 2-го, 3-го порядков.

Пример: Выделим указанные подматрицы из данной матрицы и запишем их миноры.

Решение:

Некоторые подматрицы первого порядка А =

некоторые подматрицы второго порядка А =

некоторые подматрицы третьего порядка А = .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rang A или r(A)

Из определения следует:

1. т.е., не превосходит меньшего из ее размеров;

2. тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю;

3. для квадратной матрицы п-го порядка тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная, т.е., ее определитель не равен нулю.

Пример: Вычислить , если

.

Решение: Начнем с перебора миноров третьего порядка.

Таким образом, согласно определения ранга матрицы, можем сделать вывод, что ранг данной матрицы равен 3, т.е., .

Замечание: В данном случае вычисление уже первого минора третьего порядка привело к искомому результату. В общем же случае определение ранга матрицы перебором миноров всех возможных порядков достаточно трудоемко.

Для упрощения решения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1. отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы;

2. умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3. изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4. прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

5. транспонирование матрицы.

ТЕОРЕМА 1: Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две матрицы называются эквивалентными, если они имеют один и тот же ранг.

ТЕОРЕМА 2: Какую-либо ненулевую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к матрице ступенчатого вида.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

, где

Замечания: 1. Условие , т.е., количество строк не больше количества столбцов, всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

2. Если в ступенчатой матрице количество строк равно количеству столбцов, то такую матрицу называют треугольной.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю:

.

Таким образом, с помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга несложно, т.к., для этого достаточно посчитать количество строк матрицы ступенчатого вида.

Пример: Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований (выбранные строки или столбцы нумеруем с помощью римских цифр, выполняемые преобразования записываем напротив выбранных строк или столбцов)

Решение: Выполняем элементарные преобразования