Упражнения для самостоятельного решения
а) Длина вектора на плоскости находится по одной из формул:
,
где
.
или
,
где
.
Найти длину вектора:
1)
2)
,
где
.
б) Длина вектора в пространстве находится по одной из формул:
где
или
где
.
Найти длину вектора:
1)
2)
,
где
.
Направляющими косинусами вектора
называются числа
где
; 
; 
.
Найти длину вектора
и его направляющие косинусы.
Скалярным произведением векторов
и
называется число, равное произведению
их длин на косинус угла между ними:
.
Если векторы заданы в координатной форме, то скалярное произведение находят по формуле:
,
если
или
,
если
Найти скалярное произведение векторов:
1)
если
,
.
2)
,
если
Для нахождения угла между векторами используют одну из формул:
или
или
Найти угол между векторами:
1)
2)
3)
и
где А(6;-2), В(-4;8), С(0;-4), D(6;0).
Правило умножения вектора на число:
.
Правило сложения векторов:
Выполнить действия:
где
Базисом
- мерного пространства
называют множество
линейно независимых векторов
- мерного пространства. Векторы
и
линейно независимы, если определитель,
составленный из их координат, отличен
от нуля:
Разложить вектор
по базису – значит представить этот
вектор как линейную комбинацию базисных
векторов:
Для нахождения неизвестных чисел
необходимо составить систему линейных
алгебраических уравнений и решить ее
любым способом.
Проверить, составляют ли векторы
и
базис в пространстве R3
и найти координаты вектора
в этом базисе:
Два вектора
и
или
и
перпендикулярны, если их скалярное
произведение равно 0.
а) Перпендикулярны ли векторы:
б) При каком х перпендикулярны векторы
и
?
Два вектора и или и коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. или
.
а) Коллинеарны ли векторы
б) При каком m коллинеарны
векторы
и
?
II. «аналитическая геометрия на плоскости»
1. «Уравнение кривой линии»
Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.
Пусть на плоскости задана некоторая кривая линия. Координаты х и у точки, лежащей на этой линии, связаны определенным образом. Такая связь аналитически записывается в виде некоторого уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнением кривой линии на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Общий вид такого уравнения:
.
Если точка М (х; у) передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты М (х; у) называются текущими координатами.
Установленная связь между линиями и их уравнениями позволяет изучать свойства линий путем анализа уравнений, соответствующих этим линиям. Отсюда и название предмета – аналитическая геометрия.