
- •I. «векторы на плоскости
- •1). Введение.
- •2). Понятие вектора.
- •Основные определения:
- •3). Действия над векторами. А). Действия над векторами - геометрические.
- •Сложение векторов.
- •Умножение вектора на число.
- •Б). Векторы в прямоугольной системе координат.
- •В). Действия с векторами, заданными в координатной форме
- •Умножение вектора на число:
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •«Линейное пространство. Базис и ранг системы векторов»
- •Упражнения для самостоятельного решения
- •II. «аналитическая геометрия на плоскости»
- •1. «Уравнение кривой линии»
- •2. «Уравнение прямой»
- •Виды уравнения прямой
- •Прикладные задачи.
- •III.«Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве»
- •I. Прямая в пространстве
- •II. Общее уравнение плоскости
- •III. Виды уравнения плоскости в пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору
- •IV. Прикладные задачи в пространстве
- •Пример:
- •Упражнения для самостоятельного решения
- •«Линии второго порядка»
- •1. Каноническое уравнение эллипса.
- •2. Исследование формы эллипса по его уравнению.
- •«Гипербола»
- •1. Каноническое уравнение гиперболы.
- •2. Исследование формы гиперболы по ее уравнению.
- •3. Асимптоты гиперболы.
- •4. Эксцентриситет гиперболы.
- •6. Равносторонняя гипербола.
- •«Парабола»
- •1. Каноническое уравнение параболы.
- •Упражнения для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Векторы в пространстве.
- •Действия над векторами, заданными своими координатами.
- •Уравнение прямой. Прикладные задачи.
- •Уравнение плоскости. Прикладные задачи.
- •Линии второго порядка.
- •Задания для самопроверки
- •1. Даны точки: , где n – номер студента по списку.
- •Даны четыре точки м , м , м , м . Требуется:
- •Построить линию второго порядка, заданную своим каноническим уравнением:
- •Литература
3. Асимптоты гиперболы.
Определение 5. Прямая y=kx+m называется наклонной асимптотой кривой y = f(x) при х → +∞, если
.
(9)
Аналогично определяется асимптота при х → –∞. Докажем, что прямые
(10)
являются асимптотами гиперболы (4) при х → ±∞.
Рис. 3
Так как прямые (10) и гипербола (4) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 3). Напишем уравнения прямых (10) и гиперболы (4), соответствующие первой четверти:
,
.
Положив
и
,
найдем
Следовательно, прямые (10) являются асимптотами гиперболы (4).
Отметим, что асимптоты (10) являются продолжениями диагоналей прямоугольника, стороны которого параллельны осям Ох и Оу и равны соответственно 2а и 2b, а его центр находится в начале координат.
Рис. 4
При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис. 4).
4. Эксцентриситет гиперболы.
Определение 6. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси и обозначается буквой ε:
(11)
5. Сопряженная гипербола. Рассмотрим уравнение вида
.
(12)
При переходе к новой системе координат, полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол α = 90° (или α = –90°), уравнение (12) преобразуется в уравнение гиперболы
Следовательно, кривая, определяемая уравнением (12), есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а – на оси Ох.
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
и
в одной и той же системе координат и при одних и тех же значениях а и b, называются сопряженными друг с другом.
6. Равносторонняя гипербола.
Определение 7. Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т.е. а=b. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид
,
или
.
(13)
Равносторонняя гипербола определяется одним параметром а и асимптотами являются биссектрисы координатных углов
.
У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет
Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Ox'y', полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол α = –45° (рис. 5). Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Ох'у'.
Учитывая равенство (13), получим x'y' = а2/2. (14)
Рис. 5
Определение 8. Уравнение (14) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.
Из уравнения (14) следует, что переменные х' и у' – величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратной пропорциональной зависимости.
Если центр гиперболы находится не в начале координат, а в точке О'(х0; у0), а оси гиперболы параллельны осям координат, то уравнение гиперболы будет иметь вид
или
(15)
Это уравнения гиперболы со смещенным центром.