2.4. Моделирование линейной динамики подводной лодки в среде matlab и в пакете Simulink

В качестве упрощённого результата линеаризации уравнений движения ПЛ в вертикальной плоскости рассмотрим следующую систему:

(2.4.1)

где – угловая скорость по дифференту, – дифферент, – отклонение кормовых горизонтальных рулей, – управляющий сигнал на рули.

Наряду с уравнением объекта управления (2.4.1), рассмотрим уравнение автомата (регулятора) дифферента в виде

, (2.4.2)

где – командная поправка по дифференту.

Будем считать, что все величины в приведенных уравнениях измеряются в градусах и градусах/с.

Примем следующие числовые значения коэффициентов объекта управления и автомата дифферента: , , , , , .

Поставим задачу о выборе такой командной поправки , чтобы замкнутая система (2.4.1), (2.4.2) имела наперёд заданное положение равновесия по дифференту. Этим мы однозначно определим собственное (невозмущённое) движение замкнутой системы управления по дифференту.

Промоделируем динамику замкнутой системы с выбранной командной поправкой несколькими способами непосредственно в среде MATLAB и с применением подсистемы Simulink.

Прежде всего, найдём формулу для величины , зависящей от и величин коэффициентов объекта и регулятора. С этой целью в соответствии с (2.4.1), (2.4.2) запишем систему уравнений для поиска положения равновесия:

Отсюда имеем два уравнения с двумя неизвестными

(2.4.3)

Решая систему (2.4.3), получим положение равновесия

, . (2.4.4)

В соответствии с первой формулой в (2.4.4) легко записать искомую формулу для величины :

, где . (2.4.5)

В дальнейшем под моделированием динамики рассматриваемого собственного движения будем понимать поиск функции , удовлетворяющей уравнениям (2.4.1), (2.4.2) при нулевых начальных условиях с учётом формулы (2.4.5).

Для поиска этой функции в среде MATLAB воспользуемся тремя возможными путями.

Первый путь. Запишем уравнения замкнутой системы в изображения по Лапласу при нулевых начальных условиях:

(2.4.6)

Решим эту систему относительно изображения по Лапласу для дифферента, используя формулу Крамера:

, (2.4.7)

где ­– характеристический полином матрицы замкнутой системы

,

который можно найти с помощью функции poly пакета MATLAB.

Полином определится простой формулой

.

Учитывая, что в соответствии с (2.4.5)

,

на основании таблицы изображений по Лапласу имеем

.

Тогда, в соответствии с (2.4.7):

. (2.4.7)

Дробно-рациональное выражение (2.4.7) можно разложить (с помощью функции residue) в сумму простейших дробей вида

, (2.4.8)

где – корни полинома . Тогда искомая функция , представляющая движение лодки по дифференту, может быть найдена как обратное преобразование по Лапласу от (2.4.8):

. (2.4.9)

Второй путь. Замкнутую систему (2.4.1), (2.4.2) можно представить в среде MATLAB с помощью LTI-объекта в ss-форме. Далее с помощью функции step можно промоделировать поведение ПЛ по дифференту.

Сделать это самостоятельно, считая, что входным сигналом для замкнутой системы служит величина , где определяется по формуле (2.4.5). В качестве выхода принять переменную .

Третий путь. Замкнутую систему (2.4.1), (2.4.2) можно представить в среде MATLAB с использованием подсистемы динамического моделирования Simulink. Сделать это самостоятельно. В дополнение учесть ограничение на отклонение рулей. Сравнить с динамикой системы без ограничений.