Автоматичний вибір кроку інтегрування

Розглянемо питання про автоматичний вибір кроку інтегрування. Можливість контролювати на кожному кроці точність обчислень дозволяє дуже економічно обчислювати інтеграл з заданою точністю eps. Розіб'ємо первинний відрізок інтегрування [а,b] на деяке число невелике частин [x_i-1, x_i], i=1, 2, …, m. Тепер застосуємо до кожного відрізка [x_i-1, x_i], квадратурну формулу Симпсона з кроком h і h/2. В результаті обчислимо значення інтегралів по відрізку [x_i-1, x_i] : I_h,i та I_h/2,i. Якщо виконуватиметься нерівність: I_h,i-I_h/2,i/15/m або в загальному випадку I_h,i-I_h/2,i/15x_i-x_i-1/(b-a), то задана точність чисельного інтегрування по відрізку [x_i-1, x_i] досягнута. Якщо ж нерівність не виконується, то необхідно обчислити той же інтеграл по тому ж відрізку з кроком h/2 і h/4 і знову повторити перевірку ітд. Таким чином, первинні відрізки швидкої зміни функції розбиваються на більше число відрізків інтегрування, а відрізки плавнішої зміни функції - на менше.

Приклад. Розглянемо функцію ln(x) на [а,b]:

. Якщо узяти b=1, a=10^-5 і підставити межі інтегрування, то I=0+1.1151293*10^-4-(b-a)-0.9998748. При прямуванні х до нуля похідні підінтегральної функції швидко ростуть. А саме, друга похідна , четверта . Тому, для того, щоб обчислити інтеграл з високою точністю, поблизу нуля необхідно збільшити число розбиття відрізку. Якщо спочатку розбити відрізок на 10 частин, і обчислювати інтеграл з точністю до 10^-12, то по методу Симпсона з автоматичним вибором кроку необхідно перший відрізок (від нуля) розбити на 262144 частин, другий на 256, 3 на 128, відрізки 4-7 на 64 частини і відрізки 8-10 на 32 частини. По попередньому алгоритму було б необхідно розбити весь відрізок інтегрування на 262144 частини. Таким чином, виграш складає приблизно 10 разів.

Блок-схема методу чисельної інтегрування з автоматичним вибором кроку відрізняється тільки головною програмою. Спочатку вводиться відрізок інтегрування, точність розрахунку інтеграла і інформація про первинне розбиття інтервалу на відрізки, до яких буде застосований алгоритм автоматичного вибору кроку. У нашому випадку весь відрізок розбивається на рівні відрізки, їх число задається значенням змінної m. Загальне значення інтеграла зберігатися в змінній Int . Тепер можна застосувати алгоритм апостеріорної оцінки погрішності до кожного відрізка [ai,bi].

Невласні інтеграли

Чисельне інтегрування з автоматичним вибором кроку дозволяє обчислювати також і невласні інтеграли. Як приклад розглянемо невласний інтеграл: .

Обчислення I₁ не представляє ніяких утруднень, для обчислення I₂ виконаємо заміну змінних u=1/x: . Тепер можна обчислювати і I₂ . Для цього як нижню границю інтегрування а візьмемо достатньо мале число, наприклад a=10^-7. Це дозволить уникнути поділу на 0 при обчисленнях. Як інший, більш універсальний підхід можна запропонувати узяти a=0, але в малій околиці точки u=0 замінювати вираз його межею при u0. Таку межу легко обчислити: . Тут зроблена заміна змінних при обчисленні границі t=1/u², якщо u0 то t. Остання границя легко обчислюється за правилом Лопіталя.