Ответы к теме 4
1.
. 2.
. 3.
–4.
4.
а)
; б)
; в)
.
5.
. 6.
а)
; б)
.
7.
Пересекаются. 8.
а) 0; б)
. 9.
а)
;
б) совпадают; в)
параллельны; г)
.
Тема 5. Плоскость и прямая в пространстве
1. Даны
точки
и
.
Составьте уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
.
2. Составьте
уравнение плоскости, проходящей через
три точки
и
.
3. Составьте
уравнение плоскости, проходящей через
точку
параллельно векторам
и
.
4. Составьте
уравнение плоскости, проходящей через
точку
параллельно плоскости
.
5. Найдите
угол между плоскостями
и
.
6. Дана
пирамида с вершинами
,
.
Найдите длину высоты, опущенной из
вершины D
на грань ABC.
7. Установите, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:
1)
и
;
2)
и
;
3)
и
.
8.
Составьте канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точку
параллельно вектору
.
9. Составьте
канонические и параметрические уравнения
прямой:
10. Найдите
угол между прямыми
и
.
11. При
каких значениях a
прямые
и
:
1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают?
12. Выясните
взаимное расположение прямой и плоскости:
и
.
13. Напишите
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно плоскости
.
14. Найдите угол между прямой и плоскостью:
а)
и
;
б)
и
.
15. Найдите
координаты точки пересечения прямой
с плоскостью
.
16.
Найдите точку A,
симметричную точке
относительно плоскости
.
Ответы к теме 5
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7. 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают.
8.
; 9.
10.
. 11.
1)
; 2)
; 3)
;
4)
.
12.
Прямая параллельна плоскости. 13.
.
14.
а)
;
б)
. 15.
. 16.
.
Тема 6. Кривые второго порядка
1. Для следующих эллипсов и гипербол найдите: а) полуоси; б) расстояние между фокусами; в) эксцентриситет ; г) координаты фокусов; д) координаты вершин; е) для гипербол составьте уравнения асимптот.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если:
1) его полуоси равны 1 и 7;
2) расстояние между фокусами равно 8 и малая полуось равна 3;
3) большая полуось
равна 5 и точка
лежит на эллипсе.
3. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:
1) его полуоси равны 2 и 5;
2) расстояние между фокусами равно 12 и большая полуось – 13;
3) малая ось равна
10, а эксцентриситет
.
4. Составьте уравнение гиперболы, если:
1) ее фокусы находятся
в точках
,
а действительная полуось равна 5;
2) гипербола проходит
через точку
,
а ее вершины находятся в точках
.
5. Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если:
1) ее действительная и мнимая полуоси равны 11 и 4 соответственно;
2) расстояние между
фокусами равно 10, а эксцентриситет
;
3) уравнение одной
из асимптот
,
а действительная полуось равна 6.
6. Составьте каноническое уравнение параболы, если:
1) ее вершина
совпадает с началом координат, а фокус
находится в точке
;
2) ветви направлены вверх, а параметр равен 4;
3) уравнение
директрисы
,
а фокус находится в точке
;
4) ее вершина
совпадает с началом координат, парабола
проходит через точку
и ось абсцисс является осью параболы.
7. Определите вид и расположение линии 2-го порядка:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.