8. Задачи для самостоятельного решения
Тема 1. Матрицы. Определители
1. Найти матрицу, транспонированную матрице А:
а)
; б)
; в)
.
2.
Даны матрицы
.
Найти а) 2А; б)
; в)
.
3.
Найти 3A+2E,
если
,
E
– единичная матрица третьего порядка.
4. Вычислить определители второго порядка:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
5. Вычислить определители третьего порядка различными способами:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
6. Найти обратную матрицу:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7.
Решить уравнение
.
8.
Построить график функции
.
9. Решить матричные уравнения:
а)
; б)
;
в)
.
10. Найти ранг матрицы:
а)
; б)
.
Ответы к теме 1
1.
а)
; б)
; в)
.
2.
.
3.
. 4.
а) 13; б)
; в)
;
г) 2a; д)
.
5.
а) 78; б) 0; в)
; г)
78; д) 100; е)
– 6.
6.
а)
; б)
; в)
;
г) не существует. 7.
. 8.
Прямая
.
9.
а)
; б)
; в)
. 10.
а) 2; б) 2.
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
1. Убедиться, что система является невырожденной, и решить ее по формулам Крамера и матричным способом:
а)
б)
в)
2. Решить системы методом Гаусса:
а)
б)
в)
г)
Ответы к теме 2
1. а) (–2;2;1); б) (1;2;–3); в) (–3;3;0).
2.
а)
; б)
несовместна;
в)
; г)
(–2;1;2).
Тема 3. Векторы
1.
Как должны быть связаны векторы
и
,
чтобы выполнялись соотношения:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
2. Даны
точки
.
Докажите, что ABCD
– равнобедренная трапеция.
3.
При каких α и
векторы
и
ортогональны, а векторы
и
коллинеарны?
4. Дан
треугольник с вершинами в точках
.
Найти: а) внутренний угол при вершине
С;
б) пло-
щадь треугольника АВС;
в) длину высоты, опущенной из вершины С
на АВ.
5. Даны
векторы
,
,
.
Найти
.
6. Какую
работу производит сила
,
когда точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из точки
в точку
?
7. Найдите
какой-либо ненулевой вектор
,
перпендикулярный векторам
и
.
8. Вычислите
синус угла, образованного векторами
и
.
9. Выясните, компланарны ли векторы:
а)
, 
, 
;
б)
, 
, 
10. Вычислите
объем тетраэдра ABCD
и длину высоты, опущенную из точки D
на основание ABC,
если известны координаты его вершин
.
11. Сила
приложена к точке
.
Определите величину и направляющие
косинусы момента силы относительно
начала координат.
12. Даны
три силы
,
приложенные к точке
.
Определите величину и направляющие
косинусы момента равнодействующей силы
относительно точки
.
Ответы к теме 3
1.
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
3.
а)
;
б)
. 4.
а)
;
б)
;
в)
. 5.
5. 6.
20. 7.
. 8.
.
9.
а) да; б) нет. 10. 
.
11.
.
12.
.
Тема 4. Прямая на плоскости
1. Написать
уравнение прямой, проходящей через
точки
,
и найти точки ее пересечения с осями
координат.
2. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку
,
являющуюся основанием перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
прямую.
3.
При каком значении A
прямая
образует с осью Ox
угол
?
4. Даны
вершины треугольника
.
Найти: а) уравнение стороны AB;
б) уравнение медианы, проведенной из
вершины C;
в) уравнение высоты, проведенной из
вершины C.
5. Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе второго координатного угла и отсекающей на оси Oy отрезок, равный 3.
6.
Найдите уравнение прямой, проходящей
через точку
:
а) параллельно прямой
;
б) перпендикулярно прямой
.
7. Каково взаимное расположение двух прямых, угловые коэффициенты которых равны –2,5 и –0,4.
8.
Найдите расстояние от точки
до прямой:
а)
б)
9. Какие прямые данной пары пересекаются, параллельны или совпадают? Если прямые пересекаются, найдите координаты точки их пересечения:
а)
и
; б)
и
;
в)
и
; г)
и
.