7.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении точки M от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности. В этом случае точка является точкой разрыва 2-го рода функции .

Так, например, кривая имеет вертикальную асимптоту , так как .

Для существования наклонной асимптоты необходимо и достаточно существование двух пределов

.

Если в уравнении коэффициент k равен нулю, то имеем горизонтальную асимптоту .

Заметим, что не всегда прямая, являющаяся асимптотой графика функции при , будет являтся асимптотой того же графика при . Поэтому при отыскании наклонных асимптот нужно отдельно исследовать случаи при и .

П ример 7.4. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Прямые являются вертикальными асимптотами графика функции, так как

Следует отметить, что точки являются точками разрыва 2-го рода функции .

Наклонную асимптоту ищем в виде: ,

С ледовательно, прямая – наклонная асимптота.

7.5. Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции и построение ее графика удобно выполнять по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.

4. Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные).

5. Исследовать функцию с помощью первой призводной: установить интервалы монотонности функции, найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.

6. Исследовать функцию с помощью второй призводной: определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнитель-ных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат).

П ример 7.5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Областью определения функции является совокуп-ность интервалов .

Функция общего вида, т. к. и . Функ-ция не периодическая. Функция не определена при . Исследуем поведение функции в окрестности этой точки.

.

Следовательно, – точка разрыва 2-го рода, а, значит, прямая является вертикальной асимптотой. Найдем наклонную асимптоту .

– наклонная асимптота.

Находим . Решаем уравнение .

при .

Укажем интервалы монотонности.

На – функция возрастает, на – функция убывает.

Тогда – точка максимума, ; – точка минимума, .

Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Находим критические точки второй производной.

не обращается в ноль, но в точке не существует (хотя в этой точке функция не определена).

Точек перегиба нет. Точки пересечения с осью Ox найдем из урав-нения , а точки пересечения с Oy получим при :

, т. к. . А , значит, – точка пересечения с осью Oy.

С троим график функции (рис. 7.3).

Рис. 7.3