7.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке . Такая функ-ция достигает своих наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке. Эти значения функция может принимать либо во внутренних точках (тогда это критические точки функции), либо на границе отрезка .

Получаем следующую схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции :

1. Найти производную и критические точки функции на интервале (из условия или не существует).

2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка .

3. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

П ример 7.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-ции на отрезке .

Решение.

1. Находим . Кри-тические точки функции на отрезке (точка не входит в ).

2. Вычисляем . Находим значения функции на концах отрезка: .

3 . Итак, .

7.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если дуга кривой на этом интервале расположена ниже (выше) всякой касательной, проведенной к графику функции на .

Определение. Точка , при переходе через которую направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба графика функции .

На рис. 7.2 график функции на интервале – вогнутый, на интервале – выпуклый, а точка является точкой перегиба графика.

Рис. 7.2

Теорема 6 (достаточные условия выпуклости (вогнутости) гра-фика функции). Если функция во всех точках интервала имеет вторую производную и , то график функции на интервале выпуклый (вогнутый).

Теорема 7 (необходимое условие точки перегиба). Если точка является точкой перегиба графика функции , то или не существует при .

Точки, в которых обращается в ноль или не существует, называются критическими точками второй производной.

Теорема 8 (достаточное условие точки перегиба). Пусть фукция дважды дифференцируема в некоторой окрестности ( ) точки , в которой или не существует. Если вторая производная меняет знак при переходе через точку , то является точкой перегиба графика функции.

Таким образом, область определения функции разбивается на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости (вогнутости). Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых или не существует.

П ример 7.3. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точ-ки перегиба графика функции .

Решение.

Находим . Критическими точками второй производной являются точки . Эти точки разбивают область определения функции на 3 интервала, на каждом из которых сохраняется направление вогнутости или выпуклости. Определим знаки второй производной на этих интервалах, характер точек .

Т аким образом, на – функция выпукла; на – функция вогнута; точки – точки перегиба гра-фика функции.