6.5. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда и , где при . Из последнего равенства получаем, что .

Определение. Произведение , являющееся глав-ной линейной частью приращения функции, называется дифферен-циалом функции в точке , соответствующим приращению и обозначается , а для произвольной точки x . Дифференциал независимой переменной x будет равен , поэтому

П ример 6.9. Найти дифференциал функции .

Р ешение. Находим производную , тогда .

Основные свойства дифференциала аналогичны правилам дифференцирования (п. 6.2).

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. , где .

Последнее свойство называется инвариантностью формы диф-ференциала первого порядка.

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции (рис. 6.3) в точке при приращении аргумента, равном . Это следует из того, что , тогда . Здесь AB – приращение ординаты касательной TT₁.

Рис. 6.3

При достаточно малых , т. е. , а в точке можно записать приближенную формулу

П ример 6.10. Найти приближенно .

Решение. Применим формулу (6.8), записав, что .

З десь . Тогда Точное значение равно 5,0396842.

П ример 6.11. Найти приближенное значение объема шара, радиус которого равен 1,02 м.

Р ешение. Воспользуемся формулой . Тогда . Полагая , получим м³.

6.6. Производные и дифференциалы высших порядков

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной , т. е. . Аналогично определяются производные более высоких порядков .

Дифференциалы высших порядков функции (x – независимая переменная) вычисляются по формулам

.

Если функция задана параметрически соотношениями , причем , то ее первая и вторая производные находятся по формулам:

П ример 6.12. Найти выражение для производной n-го порядка функции .

Решение.

.

П ример 6.13. Найти производную 2-го порядка от функции , заданной неявно уравнением .

Решение. По правилу дифференцирования функции, заданной неявно, получаем: . Отсюда, используя равенство , имеем:

или .

Следовательно, . Дифференцируя последнее равенство и используя найденное для выражение, получим:

Пример 6.14. Найти производную 2-го порядка функции, заданной параметрически:

Р ешение.

П ример 6.15. Найти дифференциалы 1-го, 2-го, …, n-го порядков функции .

Решение. ,

, .

6.7. Приложения теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то сущест-вует хотя бы одна точка такая, что . Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и , то существует точка такая, что

П ример 6.16. Доказать, что уравнение имеет только один действительный корень.

Решение. Поскольку функция непрерыв-на и на концах отрезка принимает значение разных знаков , то по первой теореме Больцано–Коши на ин-тервале уравнение имеет корень. Предположим, от противного, что это уравнение имеет два действительных корня .

Т огда по теореме Ролля на интервале существовала бы точка , в которой . Но при действительных x. Полученное противоречие доказывает, что действительный корень – единственный.

П ример 6.17. Используя формулу Лагранжа, доказать неравенство .

Р ешение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на любом отрезке . Поэтому . Отсюда, учитывая, что , имеем .

П ример 6.18. Написать формулу Коши и найти значение  для функций на отрезке .

Решение. Все условия теоремы Коши выполнены: . Поэтому

.

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей и ).

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы на ; . Если и (или и ), то при условии, что существует предел отношения производных.

Замечания:

1. Аналогичная теорема справедлива и в случае .

2. Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вторых производных и т. д.

3. Неопределенности вида или алгебраическими преобразованиями функции приводятся к неопределенности вида или , и далее применяется правило Лопиталя.

4. В случае неопределенности вида , , следует проло-гарифмировать функцию и предварительно найти предел ее логарифма.

П ример 6.19. Найти .

Решение. Используем формулу (6.13)

П ример 6.20. Найти .

Решение. Имеем:

П ример 6.21. Найти .

Решение. Имеем:

П ример 6.22. Найти .

Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Обозначим . Логарифмируя и применяя правило Лопиталя (6.13), получим

(здесь дважды использован предел ).

П оскольку , то .