6.2. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Таблица производных

Определение. Дифференцированием функции называют операцию нахождения производной функции.

Основные правила дифференцирования указывают, как найти производную суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций.

Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

1. C' = 0;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Теорема (производная сложной функции). Если функция u = u(x) дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u = u(x), то сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна или .

Приведем таблицу производных основных элементарных функций.

1. (в частности, )

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. (

9.

10.

11.

12.

13.

14.

П ример 6.1. Найти производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. Используя правила дифференцирования, терему о производной сложной функции и таблицу производных, получим:

б) используем производную произведения:

в) используем правило для производной частного:

.

Р езультат оставим без упрощения.

6.3. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование

Показательно-степенной функцией или сложно-показательной функцией называется функция вида . Логарифмическое дифференцирование состоит в нахождении производной от ло-гарифма некоторой функции, что упрощает вычисление производной. Если , то .

П ример 6.2. Найти производную показательно-степенной функции

.

Решение. Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части равенства, получим

;

.

Умножая обе части равенства на у, имеем:

П ример 6.3. Найти производную функции .

Р ешение. Логарифмируем функцию: . Ис-пользуя свойства логарифмов, имеем:

.

Дифференцируем левую и правую части равенства:

.

О ткуда

6.4. Производные функций, заданных неявно и параметрически

Функция неявно задана уравнением если для всех выполняется равенство

Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно .

П ример 6.4. Уравнение неявно определяет функцию . Требуется найти производную .

Решение. Дифференцируя по x тождество , получим .

Отсюда . Из этого равенства находим :

.

Пример 6.5. Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя по х тождество , получим . Выражая из этого равенства, находим:

.

П ример 6.6. Вывести правило дифференцирования обратной функции.

Решение. Если , то если существует , то есть функция, обратная к , при этом для всех выполняется равенство . Значит функция есть функция, заданная неявно уравнением . Для нахождения производной дифференцируем равенство по y: , откуда получаем формулу для производной обратной функции:

П ример 6.7. Найти производную функции .

Решение. Функция является обратной по отношению к функции ( – синус гиперболический x). По определению . Так как , то монотонно возрастает при всех и, следовательно, имеет обратную функцию .

Применяем формулу (6.4) следующим образом:

.

И з соотношения следует, что .

Пусть заданы функции

Если функция на интервале имеет обратную , то определена новая функция , называемая функцией, заданной параметрически соотношениями (6.5). Дифференцируя по x и используя формулу (6.4) имеем соотношение

Пример 6.8. Найти касательную к окружности в точке .

Решение. Запишем уравнение касательной в виде . Здесь , а Найдем производную по формуле (6.6): ; .

Тогда .

О кончательно имеем: или (рис. 6.2).

Рис. 6.2