6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6.1. Производная. Касательная и нормаль к графику функции. Геометрический и физический смысл производной

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в интервале . Зафиксируем точку . Пусть , тогда – приращение аргумента в точке , которому соответствует приращение функции в той же точке. Иногда удобнее обозначать через .

Определение. Производной функции в данной точке называют предел, если он существует, отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. Производную функции в точке обозначим , тогда по определению

Если x – произвольная точка, то производная функции является также функцией аргумента x, т.е.

. Производная обозначается .

Таким образом, производная функции в точке является значением функции в точке .

Определение. Если существует, то функция называ-ется дифференцируемой в точке x.

Пусть дана кривая (рис. 6.1), проведем через точки и прямую . Прямую, проведенную через любые две точки графика функции , называют секущей графика функции . Предельное положение MT секущей , когда , передвигаясь по кривой, стремится к точке M, называется касательной к кривой в точке M (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Пусть k₁ – угловой коффициент секущей , т. е. тангенс угла, который образует прямая с осью абсцисс, k – угловой коффициент касательной MT, тогда из определения касательной . Так как , поэтому , т. е. производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой , а именно .

Уравнение касательной запишем, используя уравнение прямой . Так как , тогда . Так как прямая проходит через точку , то . Отсюда . Тогда уравнение касательной имеет вид

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали запишем в виде

Выясним геометрический и физический смысл производной.

Величина угла прямой (секущей) к оси Ox обозначена через  (см. рис. 6.1), . Из прямоугольного треугольника имеем: . Обозначим через α угол наклона касательной MT к оси Ox, . Тогда . Если (и, следовательно, ), то , т. е. , или . Получаем равенство . Это равенство выражает геометрический смысл производной:

производная функции при равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке и положительным направлением оси Ox.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно: непрерывная функ-ция может не иметь производной.

Рассмотрим задачу о скорости неравномерного прямолинейного движения. Неравномерное прямолинейное движение точки M осуществляется по закону , где – длина пути, – заданная функция времени t. Пусть в момент времени точка M занимала положение M₀. За промежуток времени пройден путь . Средней скоростью за промежуток времени называют отношение приращения пути к соответствующему приращению времени . Скоростью точки M в данный момент времени (мгновенной скоростью) называют предел средней скорости при :

или .

Таким образом, мгновенная скорость определена как предел отношения приращения пути к приращению времени при .

Из определения производной и последней формулы следует, что эта формула выражает физический смысл производной:

скорость движения точки в момент времени равна произвоной от пути по времени при .