5.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых
Определение.
Функция
называется бесконечно
малой
функцией
при
,
если
.
Свойства бесконечно малых функций:
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функ-ций есть бесконечно малая функция.
2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.
3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция.
4. Теорема
о связи функции, ее предела и бесконечно
малой функции.
Если
|
,
то
,
где
– бесконечно
малая функция при
.
Если
,
где
– бесконечно
малая функция при
,
то
.
Пусть
и
– бесконечно малые функции при
и существует предел их отношения
.
Тогда:
1) Если
,
то
и
называются бесконечно
малыми одного порядка малости.
Если с
= 1, то
и
называются эквивалентными
бесконечно малыми
(обозначение:
при
).
2) Если
с
= 0, то
называется бесконечно
малой более высокого порядка малости,
чем
(обозначение
при
).
При нахождении
предела отношения двух бесконечно малых
функций каждую из них можно заменить
эквивалентной ей бесконечно малой,
т. е.
если
при
,
то
.
Приведем
важнейшие эквивалентные бесконечно
малые функции, которые используются
при вычислении пределов. Если
,
то:
1) 
; 5) 
;
2) 
; 6) 
;
3) 
; 7) 
;
4) 
; 8
.
П
ример
5.1. Найти
.
Решение.
При
функции
и
являются эквивалентными бесконечно
малыми. Поэтому
Определение.Функция
называется бесконечно
боль-шой при
,
если для любого положительного числа
М существует такое число
,
что при всех
,
удовлетворяющих условию
выполняется неравенство
,
и обозначается
.
Теорема. Всякая функция, имеющая предел, ограничена. |
Обратное утверждение неверно.
5.3. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация
Пусть функция
определена в точке
и в некоторой окрестности этой точки.
Определение.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если существует предел функции в этой
точке и он равен значению функции в этой
точке, т. е.
.
Функция
называется ограниченной
при
,
если, задав любое
,
можно указать такое
,
что для всех x,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Из определения непрерывности функции в точке следует:
функция определена в точке и ее окрестности;
существует конечный предел функции в точке ;
этот предел равен значению функции в точке , т. е.
Или другими словами:
функция определена в точке и ее окрестности;
существуют конечные односторонние пределы
и
;
эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке .
Часто используется
другое определение непрерывности
функ-ции
в точке. Пусть
– приращение функции в любой точке х:
.
Определение.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если предел приращения функции в этой
точке равен нулю при
,
т. е.
.
Определение. Точкой разрыва функции называется точка, в которой функция не является непрерывной. Другими словами, точка , в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.
Если в точке
существуют конечные односторонние
пределы
,
такие что
,
то
называется точкой
разрыва первого
рода.
Если хотя
бы один из пределов
не существует или равен бесконечности,
то точка
называется точкой
разрыва второго рода.
Если
,
но функция в точке
не определена или если
в точке
определена, но
,
то
называется точкой
устранимого разрыва.
Укажем основные свойства непрерывных функций.
Простейшие элементарные функции (
,
)
непрерывны во всех точках, где они
определены.Если функции и
непрерывны в точке
,
то и функ-ции
непрерывны в точке
.Если
непрерывна в точке
,
а
непрерывна в точке
,
то сложная функция
непрерывна
в
точке
.
Функция
называется непрерывной
на интервале
,
если она непрерывна в каждой точке этого
интервала.
Определение.
Функция
называется непрерывной
на отрезке
,
если она непрерывна на интервале
,
непрерывна справа в точке a
(т. е.
)
и слева в точке b
(т. е.
).
Укажем основные свойства непрерывных на отрезке функций.
1. Функция
,
непрерывная на отрезке
достигает на этом отрезке своего
наименьшего и наибольшего значений.
(А, следователь-но,
функция , непрерывная на отрезке,
ограничена на этом отрезке.)
2. Если
функция
непрерывна на отрезке
и на концах его принимает неравные
значения
,
то на этом отрезке она принимает и все
промежуточные значения между А
и В.
3. Если
функция
непрерывна на отрезке
и на его концах принимает значения
разных знаков, то внутри отрезка
существует хотя бы одна точка с,
в которой функция обращается
в нуль,
т. е.
.
П
ример
5.2. Найти точки разрыва функции
и
определить их вид.
Решение.
Так как функции
и x
непрерывны, то непрерывным будет и их
отношение
во всех точках, кроме точки
.
При
не определена, следовательно, разрывна.
Так как
(см. п. 5.1 пример 12), то
– точка устранимого разрыва. Если
положить
,
то функция
б
удет
непрерывной при всех x.
П
ример
5.3. Установить
вид точек разрыва функции
Решение.
Область определения функции
– вся числовая ось
.
Разрывы возможны только в точках
и
,
в которых изменяется аналитическое
задание функции. Найдем односторонние
пределы в точке
и значение функции в этой точке:
Следовательно, в точке функция непрерывна.
Рассмотрим точку :
Т
ак
как эти пределы конечны, но не равны
между собой, то х
= 3 – точка
разрыва первого рода. График функции
f(x)
изображен на рис. 5.1.
Р
ис.
5.1
П
ример
5.4. Установить
вид точек разрыва функции
Решение. Данная функция непрерывна всюду, кроме точки х = –1, в которой f(x) не определена.
П
оскольку
(т .к.
при
),
(т. к.
при
),
т. е.
правосторонний предел бесконечен, то
х
= –1 – точка разрыва второго рода.