5. Введение в математический анализ

5.1. Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Функция и предел функции

Определение. Под числовой последовательностью (или просто последовательностью) понимается функция , заданная на множестве N натуральных чисел. Отдельные числа называются членами (или элементами) числовой последовательности: х₁ – первый член числовой последовательности, х₂ – второй и т. д. Кратко последовательность обозначается ; а символом x_n обозначается общий член числовой последовательности.

П римеры:

1. .

2. .

3 . .

Последовательность {х_n} называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется нера-венство . В противном случае последовательность называется неограниченной. Очевидно, что последовательности в приме-рах 1 и 2 ограничены; в примере 3 – неограничена.

Если все элементы последовательности {х_n} равны одному и тому же числу, то ее называют постоянной.

Последовательность {х_n} назывется возрастающей (убывающей), если для любого выполняется неравенство . Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности {х_n}, если для любого числа  > 0 существует такой номер N(), что для всех n > N() выполняется неравенство

Обозначение предела последовательности: при

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Теорема Больцано–Вейерштрасса. 1. Всякая монотонная огра-ниченная последовательность имеет предел. 2. Из всякой ограни-ченной последовательности можно выделить сходящуюся подпо-следовательность.

Если , то последовательность {х_n} называется бесконечно малой числовой последовательностью. Последовательность {х_n} называется бесконечно большой, если для любого существует число N такое, что для всех . Тогда пишут: .

Определение. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве X задана функция f. Говорят, что функция f отображает множество X на множество Y.

Множество X называется областью определения функции f (обо-значается ), а множество Y называется областью значений функции f (обозначается ).

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Обозначение предела функции:

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при , то справедливы следующие теоремы о пределах:

1. 2. 3. (если ).

Теорема (предел сжатой функции). Если определены в окрестности точки и при выполняются условия и , то .

При вычислении пределов числовых последовательностей и функ-ций часто используются известные пределы:

Из приведенных формул следуют: , α – любое число. Выражения, предел которых не может быть найден непосредственно с помощью теорем о пределах, называют неопределенностями. Раскрыть неопределенность, значит, вычислить указанный предел. Например, отношение , когда и – бесконечно малые функции, представляет неопределенность, которую символически записывают как . Если и – бесконечно большие функции, то представляет неопределенность . Раскрытие неопределенностей вида , возможно после предварительного упрощения выра-жения, либо использования замечательных пределов, либо при-менения правила Лопиталя. Другие виды неопределенностей могут быть преобразованы к неопределенности вида или .

П римеры. Найти пределы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. .

9. ,

так как и

10.

11.

12.

т ак как