14. Определение эмпирической функции распределения.
Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
Определение
Пусть
-
выборка
из распределения
случайной величины
,
задаваемого функцией распределения
.
Будем считать, что
,
где
,
- независимые
случайные
величины,
определённые на некотором пространстве
элементарных исходов
.
Пусть
.
Определим случайную величину
следующим
образом:
,
где
-
индикатор
события
,
-
функция
Хевисайда.
Таким образом, выборочная функция
распределения в точке
равна
относительной частоте элементов выборки,
не превосходящих значение
.
Случайная величина
называется
выборочной функцией распределения
случайной величины
и
является аппроксимацией для функции
.
Существует результат,
показывающий, что при
функция
равномерно
сходится
к
,
и указывающий скорость сходимости.
15. Построение и свойства эмпирической функции распределения
Пусть
зафиксирован элементарный
исход
.
Тогда
является
функцией распределения дискретного
распределения,
задаваемого следующей функцией
вероятности:
,
где
,
а - количество элементов выборки, равных
.
В частности, если все элементы выборки
различны, то
.
Математическое ожидание этого распределения имеет вид:
.
Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.
Аналогично, выборочная дисперсия - это теоретическая дисперсия выборочного распределения.
Случайная
величина
имеет
биномиальное
распределение:
.
Выборочная
функция распределения
является
несмещённой
оценкой
функции распределения
:
.
Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
.
Согласно усиленному закону больших чисел, выборочная функция распределения сходится почти наверное к теоретической функции распределения:
почти
наверное при
.
Выборочная
функция распределения является
асимптотически
нормальной оценкой
теоретической функции распределения.
Если
,
то
по
распределению
при
.
16. Что такое параметры распределения.
Опишем некоторые параметры распределения.
Математическое ожидание (среднее значение) EX случайной величины X. Представляет собой интеграл вида
.
Для непрерывной случайной величины может быть выражено также через плотность ее распределения
,
а для дискретной случайной величины - через функцию вероятности:
.
Дисперсия (рассеяние) случайной величины X имеет вид
.
В классических методах теории риска дисперсия часто использовалась в качестве меры риска, измерителя рискованности проектов.
Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением
.
Асимметрия распределения случайной величины X:
.
характеризует различие "хвостов" распределения; асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна 0.
Островершинность распределения случайной величины X:
.
характеризует тяжесть "хвостов" распределения; положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.
Медианой a = med(X) распределения случайной величины X называется корень уравнения
.
Медиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае - ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши. Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).
Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае - точка максимума плотности распределения, в дискретном случае - точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.
В разделе иллюстраций можно познакомиться с визуальным представлением средних значений треугольного распределения.