7. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов.

Данный метод основан на первом законе Кирхгофа и на обобщенном законе Ома. По методу узловых потенциалов можно составить столько уравнений, сколько ветвей у дерева графа, следовательно в нашем случае 3 уравнения. В схеме заземлим нулевой узел (φ₀ = 0 B).

• З апишем систему уравнений для нахождения потенциалов в общем виде:

φ₁*g₁₁ + φ₂*g₁₂ + φ₃*g₁₃ = J₁₁,

φ₁*g₂₁ + φ₂*g₂₂ + φ₃*g₂₃ = J₂₂,

φ₁*g₃₁ + φ₂*g₃₂ + φ₃*g₃₃ = J₃₃.

• Уравнение в матричной форме имеет вид:

φ_кк*g_кк= J_кк

• Посчитаем проводимости ветвей:

g₁₁ = g₁ + g₃ + g₄ ,

g₂₂ = g₄ + g₅ + g₆ ,

g₃₃ = g₂ + g₃ + g₅,

g₁₂ = g₂₁ = - g₄,

g₁₃ = g₃₁ = - g₃,

g₂₃ = g₃₂ = - g₅ ,

- Подставим численные значения:

g₁₁ = 1/ R₁ +1/ R₃ +1/ R₄ = 1/ 100 +1/ 80 +1/ 30 = 0,0558 См,

g₂₂ = 1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R₆ = 1/ 30 +1/ 100 +1/ 10 = 0,1433 См,

g₃₃ = 1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅ = 1/ 30 +1/ 80 +1/ 100 = 0,0558 См,

g₁₂ = g₂₁ = - 1/ R₄ = - 1/ 30 = -0,0333 См,

g₁₃ = g₃₁ = - 1/ R₃ = - 1/ 80 = -0,0125 См,

g₂₃ = g₃₂ = - 1/ R₅ = - 1/ 100 = -0,01 См,

• Посчитаем узловые токи:

J₁₁ = -E₁*g₁,

J₂₂ = J₆,

J₃₃ = -E₂*g₂+J₆ .

- Подставим численные значения:

J₁₁ = -10/100 = -0.1А,

J₂₂ = 4 А,

J₃₃ = -60/30+4 = 2 А.

• Cоставим систему уравнений для нахождения потенциалов:

φ₁*(1/ R₁ +1/ R₃ +1/ R₄) + φ₂*(- 1/ R₄ ) + φ₃*(- 1/ R₃ ) = -E₁*g₁,

φ₁*(- 1/ R₄ ) + φ₂*(1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R_{6 ) +}φ₃*(- 1/ R₅ ) = J₆,

φ₁*(- 1/ R₃ ) + φ₂*(- 1/ R₅ )+ φ₃*(1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅ ) = -E₂*g₂+J₆.

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения потенциалов:

φ₁ = 26.84739 B,

φ₂ = 36.90434 B,

φ₃ = 48.29707 B.

• Подсчитаем значения токов по закону Ома(НЕ ПОДСЧИТАНО):

I₁ = - φ_{1 /}R₁,

I₂ = (-φ₃₊ E_{2) /}R₂,

I₃ = (φ₃ - φ_{1 )/}R₃,

I₄ = (φ₁ - φ_{2 )/}R₄,

I₅ = (φ₃ - φ_2)/R₅,

I₆ = (φ₂ + E_6)/R₆,

- Подставим численные значения:

I₁ = -9.37 /20=-0.4687 А,

I₂ = (14.92 -80)/50=-1.30161 А,

I₃ = (-14.92-9.37 )/100 =-0.2429 А,

I₄ = (9.37-59.19)/70= -0.71163 А,

I₅ =( -14.92-59.19)/70 =-1.05868 А,

I₆ =(59.19-10)/40= 1.22969 А.

8. Проверим правильность расчетов по законам Кирхгофа.

- составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:

I₁ + I₃ – I₄ = 0,

I₂ – I₃ – I₅ = 0,

I₄ + I₅ - I₆ = J₆,

-R₁*I₁ + R₂*I₂ + R₃I₃ = E₂ - E₁,

-R₃*I₃ - R₄*I₄ + R₅*I₅ = 0,

R₂*I₂ +R₅*I₅ + R₆*I₆ = E₂ .

- составим матрицу:

1 0 1 -1 0 0 0

0 0 0 1 1 -1 4

0 1 -1 0 -1 0 0

-100 30 80 0 0 0 -70

0 0 -80 30 100 0 0

0 30 0 0 100 10 -60

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения силы токов:

I₁ = -0.0287 A,

I₂ = -1.07493 A,

I₃ = -0.50777 A,

I₄ = -0.53647 A,

I₅ = -0.56716 A,

I₆ = 2.89637 A.

Эти значения совпадают со значениями, полученными с помощью методов МКТ и МУП, следовательно, расчеты верны.(НЕ СДЕЛАНО!!)

9. Составим баланс мощностей.

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и является критерием проверки правильности полученных результатов.

Мощность, генерируемая источником ЭДС и тока (сумма алгебраическая), равняется мощности потребляемой приемником.

Для данной схемы:

Е₂*I₂ + E₁*I₁ + J₆(R₆*I₆) = R₁* + R₂* + R₃* + R₄* + R₅* + R₆* ,

-60*(-1.0749) + 10*(-0.0287) + 4*(10*2.8964) = 100*(-0.0287)² +

+ 30*(-1.0749)² + 80*(-0.5078) + 30*(-0.53647)² + 100*(-0.5672)² +

+ 10*(2.8964)²,

Посчитаем левую и правую части этого уравнения:

1. -60*(-1.0749) + 10*(-0.0287) + 4*(10*2.8964) = 180.063 Вт

2. 100*(-0.0287)² + 30*(-1.0749)² + 80*(-0.5078) + 30*(-0.53647)² + 100*(-0.5672)² + 10*(2.8964)² = 180.07 Вт

Сравним: 180.063 Вт 180.07 Вт, следовательно, наши расчеты верны.