КРАТКИЕ ТЕОРИТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения вероятностей или о параметрах известных распределений. Проверка степени соответствия реализаций случайных величин соответствующим законам распределения осуществляется с помощью критериев согласия. Критерии согласия позволяют оценить вероятность того события, что полученная выборка не противоречит сделанному предложению о виде закона распределения случайной величины. Для этого выбирается некоторая величина Х, являющаяся мерой расхождения статического и теоретического законов распределения. Определяется такое её значение Х_, чтобы выполнялось следующее равенство:

P ( X  Х_q ) = .

где  - достаточно малая величина (уровень значимости), значение которой устанавливается в соответствии с существом задачи.

Если значение меры расхождения Х_q, полученное из эксперимента, больше Х_, то отклонение от теоретического распределения считается значимым и гипотеза отвергается. Если же Х_q  Х_, то отклонение считается незначимым, т.е. данные эксперимента не противоречат сделанному предположению о виде закона распределения.

Проверку гипотезы с помощью критерия согласия можно вести в другой последовательности по значению Х_q определяется такая вероятность _q, для которой выполнено следующее соотношение

_q = P ( X  Х_q ).

Тогда, если выполнено неравенство _q< , то гипотеза отвергается, в противном случае, при _q>, принимается.

Не исключено, что при использовании критериев согласия будет отвергнуто правильное предположение о законе распределения. Такая ошибка называется ошибкой первого

рода. Возможно также, что неправильное предположение будет принято. Это соответствует ошибке второго рода.

В практических приложениях метода машинного моделирования часто встречаются проблемы исследования некоторой случайной величены Y, зависящей от некоторого множества неслучайных переменных х₁, х₂, …. х_n. При проведении экспериментов значения Х_i (поочерёдно или одновременно) могут быть произвольно выбраны экспериментатором. В этом случае величины Х_i играют роль переменных параметров, входящих в распределение величины Y, а математической моделью является функция отклика, связывающая параметр, характеризующий результат эксперимента, с переменными (факторами), которые экспериментатор варьирует при проведении опытов:

Y = f ( X₁ ), 1 = 1, 2, …, n

При проведении регрессивного анализа необходимо соблюдение следующих условий:

результаты эксперимента представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины; независимые переменные х₁, х₂, …. х_n изменяются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибками определения Y; при проведении эксперимента с объемом выборки n при условии, что каждый опыт повторяется m раз, выборочные дисперсии должны быть однородны.

Обработка экспериментальных данных производится по программе полного корреляционного анализа, в результате которого между зависимой переменной и каждым фактором вычисляется коэффициент парной корреляции и корреляционное отношение.

Если в результате обработки исходных данных оказывается, что связь между зависимой переменной и отдельными факторами X_i линейная, то уравнение множественной регрессии тоже будет линейным:

2

Y = ₀ + ₁X₁ + ₂X₂ + … + _nX_n.

Коэффициенты этого уравнения определяются непосредственно из исходных экспериментальных данных по программе расчета уравнения множественной регрессии.

Если связь между зависимой переменной и отдельными факторами нелинейная, а эмпирическая линия регрессии достаточно точно характеризует функцию нелинейности (при сравнении с различными кривыми: параболой, экспонентой и т.п.), то уравнение регрессии ищется в виде

Y = ₀ + ₁f₁(X₁) + ₂f₂(X₂) + … + _nf_n(X_n),

где f₁ … f_n – функции, выражающие аналитическую зависимость между факторами X_i и переменной Y. Расчёт коэффициентов такого уравнения производится после приведения его к линейному виду путем функционального преобразования исходных данных.

Пусть, например, исходное уравнение имеет следующий вид: Y = ₀ + ₁X₁ + ₂lg(X₂).

Тогда после замены х₂ = lg(х₂) получаем следующее соотношение:

Y = ₀ + ₁X₁ + ₂X_2,

т.е. приходим к линейному уравнению множественной регрессии. Приведённый процесс называется линеаризацией.

В результате обработки экспериментальных данных

может оказаться, что связь между Y и X_i выражено не чётко (линейная или нелинейная ), или связь явно нелинейная, но вид функции или суперпозиции функции трудно определить. В этом случае уточнение вида связи или функции производится на основе графического метода последовательных приближений, в соответствии с которыми первоночально игнорируются все факторы, за исключением одного, по которому ведётся уточнение вида связи или функции, и расчитываются кривые частоты регрессии Y^*= f (X_i). Затем по виду этих кривых определяется функция связи зависимой переменной Y с каждым фактором и составляется общее

3

уравнение регрессии.

ЗАДАНИЕ №1

Исследование основных разделов программной системы STATGRAPH. Анализ статических свойств распределений случайных величин

1. Запустить файл sgrafexe.exe

2. Найти раздел основного меню “Data management and system utilites”(“Управление данными и системные утилиты”).

3. Выбрать в данном разделе “Data management” (“Управление данными ”).

4.Выбрать в подменю пункта “ Data management ” пункт “File operation” (“Операции с файлам”). Данный пункт служит для различных действий с файлами данных (создание, удаление, дополнение, редактирование и т. д.).

5. Создать собственный файл данных, с которыми далее будут выполнены исследовательские операции. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

5.1. записать в поле ввода STATGRAPHICS file name именем собственного файла;

5.2. заполнить поле ввода Desired operation (желаемая операция) буквой “C”, соответствующей операции редактирования файла Edit;

5.3. нажать функциональную клавишу <F6>, служащей

для продолжения работы;

5.4. ввести поле ввода Name имя переменной, которое будет обозначать первый ряд данных (имя переменной необходимо, так как один файл может содержать несколько радов данных);

4

5.5. нажать функциональную клавишу <F6>;

5.6. нажать клавишу <Esc>.

5.7. ввести данные первого ряда в поле ввода данных (в каждой строке размещается одно число, варианты заданий даны в приложении);

5.8. нажать клавишу <F6>;

5.9. выбрать команду Save without Exit (Сохранить без выхода);

5.10. нажать функциональную клавишу <F5>;

5.11. выбрать команду add additional column (добавить дополнительный столбец);

5.12. ввести в поле ввода Name имя переменной, которое будет обозначать второй ряд данных;

5.13. ввести данные второго ряда в поле ввода данных;

5.14. нажать клавишу <F6>;

5.15 выбрать команду Save and Exit (сохранить и выйти).

5.16. нажать клавишу <Esc> несколько раз для того, чтобы выйти в основное меню.

6. Определить основные характеристики для сформирования последовательностей случайных величин. Для этого необходимо:

6.1. войти в раздел основного меню Description Methods (Описательные методы;

6.2. выбрать подраздел Summary Statistics (Свободная статистика)

6.3 нажать функциональную клавишу <F7> и выбрать сохраненный ранее в файле первый ряд данных;

6.4. нажать клавишу <F6>;

6.5. зафиксировать в конспекте вычисленные значения

основных характеристик первой последовательности: среднее (Average), медиана (Median), мода (Mode), дисперсия (Variance), стандартное отклонение (Standart deviation), максимум (Maximum), разность между максимальным и минимальным значениями ряда (Range);

5

6.6. нажать клавишу <Esc> для выхода в раздел Summary Statistics;

6.7. повторить пункты 6.3.-6.6. для второго ряда данных;

6.8. выйти в основное меню с помощью клавиши <Esc>/

7. Построить гистограммы частот разделения для каждой из последовательностей для следующих значений количества классов ранжирования (величина, определяющая шаг ранжирования): 10,20,30,40. Для этого необходимо:

7.1. войти в раздел основного меню Descriptive Methods (Описательные методы)

7.2. выбрать подраздел Frequency Histogram;

7.3 с помощью клавиши <F7> задать исследуемый ряд данных (первый ряд);

7.4. нажать клавишу <F7>;

7.5 задать количество классов ранжирования в поле ввода No. Of classes;

7.6. нажать клавишу <F6>;

7.7. перенести гистограмму в конспект и провести качественный анализ соответствия теоретическому закону распределения, а также проанализировать зависимоть структуры гистограммы от шага ранжирования;

7.8. нажать клавишу <Esc> для возврата в раздел Tadulation Input Panel;

7.9. повторить пункты 7.5-7.9 для второго ряда данных.

8.Построить эмпирические функции распределения для каждого из рядов. Данное задание выполняется в соответствии с пунктами раздела 7 путем изменения поля ввода Cumulative

на значение Yes.

6

Задание №2 Статическая обработка результатов эмпирического эксперимента (проверка статгипотез).

Исследование программных генераторов случайных последовательностей с заданным законом распределения.

1.Сформировать файл, содержащий экспериментальные последовательности (2 ряда в соответствии с вариантами).

2. Определить значения основных параметров распределения для первого ряда: математическое ожидание (среднее - average), дисперсию (variance), стандартное отклонение (standard deviation), минимум, максимум.

3. Построить частотную гистограмму для первого ряда. Провести качественный анализ и сформировать гипотезу о теоретическом законе распределения.

3. Проверить гипотезу, используя критерий Пирсона (- квадрат).

Для этого необходимо:

Войти в раздел «Distribution function» («Функция распределения»);

Войти в подраздел «Distribution Fitting» («Соответствие

распределению»);

Выбрать первый ряд данных с помощью клавиши <F7>;

Выбрать теоретический закон распределения (в соответствии с гипотизой), на соответствие которому будет проверятся ряд данных; закон выбирается путем указания соответствующего числа в поле ввода «Distribution Number» («Номер распределения»);нажать клавишу <F6>;нажать клавишу <F5> и выбрать пункт меню «Chi-square test» («Ntcn - квадрат»);нажать клавишу <F6>;зафиксировать в конспекте

7

значения критерия Пирсона (Chisquare) и уровня соответствия

(Sig. level);сделать вывод относительно соответствия первого ряда данных закону распределения; вывод о соответствии может быть сделан при превышении показателя уровня соответствия значения 0,5.

3. Проверить антигипотезу, используя критерий Пирсона. Для этого необходимо выполнить пункт 4, используя в качестве закона распределения, на соответствие которому проверяется ряд данных, любой альтернативный закон распределения.

3. Выполнить пункты 2-5 для второго ряда данных.

3. Сделать вывод о соответствии первого и второго ряда данных законам распределения.

3. Используя рассчитанные в пункте 2 числовые характеристики последовательностей в качестве значений параметров теоретических законов распределения.

3. Сгенерировать экспериментальные последовательности;

1. войти в раздел «Distribution function» («Функция распределения»);

2. войти в подраздел «Random number generation» («Генерация случайных чисел»);

3. выбрать закон распределения для генерации с помощью соответствующего заполнения поля ввода Distribution number;

4. нажать клавишу <F6>;

5. заполнить поля ввода параметров распределения значениями, полученными в пункте 2;

8

9.6 нажать клавишу <F6>;

9.7 ввести в соответствующих полях ввода имя файла и переменной для сохранения сгенерированного ряда данных;

8. нажать клавишу <F6>;

9. нажать клавишу <Esc> для выхода в основное меню;

10. выполнить пункты 7.3-7.9 для второго ряда данных.

9. Построить частотные характеристики сгенерированных последовательностей и сделать качественный вывод о соответствии задонному при генерации закону распределения. Для этого необходимо воспользоваться разделом «Frequency Histogram».

10. Исследовать качество сгенерированных последовательностей, сравнив параметры распределения сгенерированных последовательностей с заданными при генерации. Для этого необхлдимо воспользоваться разделом «Summary statistics»/

12.Сделать выводы о качестве функционирования генератора случайных чисел.