9. Модель с цикличностью развития

Наиболее распространенный подход к построению математических моделей прогнозирования циклических процессов заключается в первоначальном выделении тренда и анализе остаточного ряда в целях выявления и описания периодической компоненты. Для выделения тренда можно использовать процедуру сглаживания временных рядов с помощью метода скользящего среднего.

При анализе сезонных колебаний задача упрощается за счет того, что мы знаем их период – 1 год (это относится и к другим циклическим процессам с постоянным и известным периодом).

Скользящая средняя, применяемая для этой цели, должна иметь строго определенный период скольжения – 12 месяцев или 4 квартала. При этом индекс сезонности можно определить как отношение фактического уровня ряда к уровню, рассчитанному по скользящей средней. Очевидно, что значения индекса сезонности для данного месяца (квартала) будут различаться из года в год. Поэтому в качестве индекса сезонности следует использовать среднее значение индексов, полученных за ряд лет по одноименным месяцам или кварталам.

Однако полученные при этом данные относятся к интервалам с серединами между кварталами, а не к серединам интервалов (15 февраля, 15 мая, 15 августа, 15 ноября). Поэтому необходимо «центрировать» среднее. Наиболее просто это можно сделать, взяв средние последовательных пар средних, вычисленных по 4-м элементам. Такой процесс эквивалентен вычислению средних пяти элементов с весами [ ].

Если средний индекс сезонности за 12 месяцев или 4 квартала не равен единице, производится выравнивание индексов сезонности – деление всех индексов на их средний индекс.

Отметим, разумно считать, что влияние сезонности носит мультипликативный характер. В этом случае

, (t = 1,…,n ; q = 1,…,4), (4.49)

где s_q – индекс сезонности;

g_t – трендовая составляющая временного ряда.

ПРИМЕР.

В табл. 4.5 представлены поквартальные данные о количестве реализованных единиц товара за три года.

Т а б л и ц а 4. 5. Данные о реализации товара

Год	Квартал	Период t	Реализация товара	Тренд	Оценка сезонной компоненты
1	1	1	300	308,5	0,972
	2	2	320	310,4	1,031
	3	3	325	312,4	1,040
	4	4	295	314,3	0,939
2	1	5	310	316,2	0,980
	2	6	325	318,1	1,022
	3	7	340	320,1	1,062
	4	8	305	322,0	0,947
3	1	9	315	323,9	0,973
	2	10	335	325,8	1,028
	3	11	350	327,8	1,068
	4	12	310	329,7	0,940

Сначала следует оценить тренд. Для этого к данным табл. 4.5 подберем линейную модель тренда по методу наименьших квадратов.

. (4.50)

Результаты расчетов трендовых значений для t = 1,..,12 представлены в пятом столбце таблицы.

Произведем оценку сезонной составляющей модели как отношение фактического размера реализации к значению тренда. Результаты расчетов приведены в последнем столбце таблицы.

Полученные оценки сезонной компоненты пока еще не пригодны для построения прогнозов, поскольку они показывают сезонное отклонение от тренда для конкретного периода времени. Для того чтобы оценки сезонности можно было использовать в целях получения прогноза, скорректированного с учетом сезонных изменений, необходимо найти средние оценки сезонной компоненты.

Рассчитаем средние индексы сезонности. Для первого квартала индекс сезонности равен

.

Для второго квартала

.

Для третьего квартала

.

Для четвертого квартала

.

Взаимная погашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по отдельным периодам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем примере число периодов в цикле равно 4. Найдем сумму средних оценок сезонной компоненты:

Полученные значения индексов сезонности не требуют корректировки и могут использоваться в моделях прогнозов.

Найдем прогноз на четвертый год. Для первого квартала (t=13) прогноз размера реализации равен

(306,6+1,9 .

Для второго квартала

(306,6+1,9 .

Для третьего квартала

(306,6+1,9 .

Для четвертого квартала

(306,6+1,9 .