Нелинейные модели регрессии
До сих пор мы рассматривали линейные регрессионные модели, в которых переменные имели первую степень (модели, линейные по переменным), а параметры выступали в виде коэффициентов при этих переменных (модели, линейные по параметрам). Однако соотношения между экономическими переменными далеко не всегда можно выразить линейными функциями.
Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом и капиталом).
Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.
Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.
Второй подход применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.
Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.
Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой использовать обычный метод наименьших квадратов.
Так, например, если необходимо оценить параметры регрессионной модели
(i=1,…,n),
то, вводя новые
переменные 
,
получим линейную модель
(i=1,…,n)
,
параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов.
Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную модель
(i=1,..,n)
,
(2.65)
экспоненциальную модель
(i=1,..,n)
(2.66)
и другие.
В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейной форме. Так, модели (2.65) и (2.66) могут быть приведены к линейным логарифмированием обеих частей уравнений. Тогда, например, модель (2.65) примет вид
(i=1,..,n).
(2.67)
К модели (2.67) уже
можно применять обычные методы
исследования линейной регрессии. Следует
однако отметить и недостаток такой
замены, связанный с тем, что вектор
оценок
получается не из условия минимизации
суммы квадратов отклонений для исходных
переменных, а из условия минимизации
суммы квадратов отклонений для
преобразованных переменных, что не одно
и то же. Следует также подчеркнуть, что
критерии значимости и интервальные
оценки параметров, применимые для
нормальной линейной регрессии, требуют,
чтобы нормальный закон распределения
в моделях (2.65), (2.66) имел логарифм вектора
возмущений 
а
вовсе не ε.
Заметим попутно, что к модели
(i=1,..,n)
(2.68)
изложенные методы уже непригодны, так как модель (2.68) нельзя привести к линейному виду.
В качестве примера использования линеаризирующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба – Дугласа
,
(2.69)
где 
–
объем производства; 
–
затраты капитала; 
– затраты труда.
Учитывая влияние случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению, функцию Кобба–Дугласа (2.69) можно представить в виде
.
(2.70)
Полученную мультипликативную модель легко свести к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения (2.70). Тогда для i-го наблюдения получим
=
+
(i=1,..,n).
(2.71)