Пример выполнения контрольной работы

Исходные данные для варианта № 000 приведены в табл. 3, а получаемая расчетная схема приведена на рис. 2.

Таблица 3

Вариант	Номер ветви
№	1	2	3	4	5	6	7	8
000	L	E,R	R	0	R	C	R	R

Для полученной расчетной схемы необходимо определить энергию магнитного поля в индуктивности W_L и энергию электрического поля в емкости W_C(первый уровень).

Исходные данные:

Е = 100 B; J = 2 A; R = 100 Ом, L = 0,1 Гн; C = 10,0 мкФ.

Решение

1 Вычисление переходной функции

Переходной функцией называется закон изменения во времени тока в k-й ветви (или напряжения на её зажимах), когда цепь подключается к источнику постоянного напряженияЕ = 1 В или к источнику постоянного тока J = 1 А.

• — переходные функции соответственно по току и напряжению, если цепь включается на источник постоянного напряжения с E = 1 В;

Переходные функции и _, соответственно по току и напряжению, определяются расчётом переходного процесса в схеме, показанной на рис. 6.9,если цепь включается на источник постоянного напряжения с E = 1 В

a. Пассивный двухполюсник включается на единичное постоянное напряжение. Выделим из состава двухполюсника k-ю ветвь.

.Напряжение на зажимах k-йветви после коммутации – это переходная функция по напряжению, то есть

.

Переходные функции можно найти, используя операторный методы расчёта переходного процесса.

Для полученной расчетной схемы (рис. 8)рассчитать переходной процесс для тока в шестой ветви i₆(t) операторным методам и построить график переходного процесса, если  = 0с^-1 т.е. e(t)=100 В, j(t)=2 А,

R=100 Ом, L=0.1 Гн, C=10 мкФ.

Аппроксимацию сигнала произвольной формы

Аппроксимация – это представление табличных или графических данных в виде аналитических математических выражений. В качестве аппроксимирующих функций в ТОЭ применяют кусочно-линейную функцию y=а+bx .

При кусочно-линейный аппроксимации графические данные заменяются отрезками прямых линий так, чтобы можно было получить требуемую точность и более простые расчетные выражения.

Рис. 6.10

Используя кусочно-линейную аппроксимацию для источника напряжения (рис. 6.10) получим аналитическое выражение для четырех интервалов в виде:

Найти координаты прямой линии.

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля можно использовать для расчёта переходных процессов и в том случае, когда на вход цепи включается сигнал (напряжение или ток), имеющий сложную форму. В дальнейшем под сложнойформой сигнала будем понимать такое его изменение, которое определяется кусочно-аналитической функцией, то есть функцией, аналитически заданной на каждом интервале времени, причём в точках стыка интервалов она может иметь разрывы непрерывности первого рода.

Определения напряжения на зажимах k-йветви при непрерывно изменяющемся входном напряжении определяется по формуле:

.

Эта формула называется формулой или интегралом Дюамеля.

Закон изменения во времени напряжения в k-й ветви двухполюсника, на вход которого включается заданная электродвижущая сила, определяется для каждого интервала времени. При найденной заранее переходной функции будем иметь:

1. для интервала времени

2. для интервала времени

3. для интервала времени

и так далее для остальных интервалов.

Члены, содержащие и , учитывают реакцию цепи на скачкообразное изменение ЭДС в моменты времени и .

Следует обратить внимание на следующие обстоятельства:

- должна быть предварительно рассчитана соответствующая переходная функция;

- осуществляется поинтервальный расчёт искомого тока (или напряжения);

- в каждом интервале времени должно быть учтено воздействие, которое полностью закончилось к началу рассматриваемого интервала времени;

- верхний предел интегрирования различен для разных интервалов времени (для не прошедшего интервала верхний предел интегрирования переменный, для прошедшего - постоянный).

Так как источники постоянного тока, то индуктивность заменяется проводником, а емкость удаляется из цепи (рис. 3).

Тогда ; .

Таким образом, чтобы определить W_L и W_C, необходимо в схеме рис. 3 найти ток в индуктивности I_L и напряжении на емкости .

Для нахождения токов I_L и I₅составим уравнения по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа запишем уравнения для 2 и 3 узлов (рис.3).

Для второго узла: .(1)

Для третьего узла: .(2)

По второму закону Кирхгофа запишем уравнения для I и II контуров (рис. 3).

Для I контура: .(3)

Для II контура: .(4)

Решаем полученные уравнения относительно I_L и I₅.

Сначала сложим уравнения (1) и (2) и получим уравнение:

. (5)

Значение тока I₇из уравнения (2) и I₃ из уравнения (5) подставим в уравнения (3) и (4).

(6)

Полученную систему уравнений (6) преобразуем в систему (7).

(7)

Подставляя численные значения в систему уравнений (7), получаем:

или

(8)

Решая систему уравнений (8), получаем:

Напряжение на емкости определяем из контура А:

.

Определяем энергию:

, .