3 Расчёт переходной характеристики для цепи rlс (фнч)

Для цепи RLC необходимо составить систему дифференциальных уравнений, описывающих состояние ФНЧ.

– входное напряжение;

– выходное напряжение;

– ток катушки индуктивности;

– ток конденсатора;

– ток нагрузки.

Рисунок 6 – Схема ФНЧ

По второму закону Кирхгофа входное напряжение уравновешивается как

, (7)

Согласно первому закону Кирхгофа ток катушки индуктивности расщепляется на ток конденсатора и ток нагрузки:

, (8)

Известно, что ток конденсатора определяется как

, (9)

а ток нагрузки по закону Ома выразим как

, (10)

Система дифференциальных уравнений, описывающих состояние ФНЧ с учётом (7) – (10), выглядит следующим образом:

(11)

Все дальнейшие расчеты проводим анологично как для цепи RL

3.1 Преобразования Лапласа

Применим к выражению (11) прямое преобразование Лапласа, получим систему алгебраических уравнений в изображениях и проведём алгебраические преобразования:

(12)

где s – оператор Лапласа.

Подставим второе уравнение системы (6) в первое и проведём алгебраические преобразования:

,

. (13)

Операторной передаточной функцией ФНЧ называется отношение изображение выходного сигнала ко входному :

₍₁₄₎

С учётом (13) и (14) запишем выражение для операторной передаточной функции ФНЧ:

₍₁₅₎

Для облегчения расчётов воспользуемся MathCAD:

_{Рисунок 7}

3.2 Численный метод

Воспользуемся методом Эйлера для решения системы уравнения, для этого преобразуем уравнение (11) к нормальной форме Коши:

(16)

Аналогично решим в программе MathCAD

Рисунок 8

3.3 Z-преобразования

Воспользуемся MathCAD для дальнейших преобразований:

Рисунок 9

3.4 Применение интегральной оценки погрешности

В связи с колебательным переходным процессом применяют такие интегральные оценки, в которой знакопеременность подынтегральной функции устранена. Таким свойством обладает квадратичный интегральный критерий.

₍₁₇₎

Представим, что переходная функция рассматриваемой динамической системы, полученная с применением преобразования Лапласа, является эталонной X_Э(t). Оценим качество переходного процесса с применением интегрального критерия. Поскольку из рисунков 10 и 11 видно, что переходный процесс колебательный (периодический), воспользуемся линейным интегральным критерием оценки I₂.

Рисунок 10 – График функции ошибки

Рисунок 11 – График функции ошибки

Однако при применении численных методов и Z-преобразований полученные функции не являются непрерывными, что не позволяет провести их интегрирование, для оценки необходимо применить численное интегрирование. Воспользуемся методом трапеции [3], тогда квадратичный интегральный критерий (17) преобразуется к виду:

Оценим качество переходных процессов относительно h(t) методом трапеции, воспользуемся MathCAD.

Вывод

В данной лабораторной работе научился применять различные методы расчета переходных процессов, а также рассчитывать интегральную оценку качества переходного процесса

Наиболее точным расчетом переходных процессов является расчет по Лапласу, но не всегда входной сигнал является непрерывным. В таких случаях применяют Z-преобразования.