2.1 Преобразования Лапласа

Воспользуемся преобразованием Лапласа получения передаточной функции и решения ДУ, выражение (1) примет вид:

Сгруппировав множители при I(s) получим:

Поскольку Е(s), I(s) – входная и выходная величины соответственно, то передаточная функция имеет вид

₍₂₎

Для облегчения расчётов воспользуемся MathCAD:

Перейдём к оригиналу получим переходную характеристику:

Время переходного процесса примем равным 5τ, выберем количество точек разбиения N, тогда

Рисунок 2

2.2 Численный метод

Воспользуемся методом Эйлера для решения данного уравнения, для этого преобразуем уравнение (1) к нормальной форме Коши:

(3)

Запишем дифференциал (3) в виде функции правых частей:

Зададим количество точек разбиения, примем время переходного процесса равным 5τ:

Рисунок 3

2.3 Z-преобразование

Почти все современные системы работают с дискретным представлением сигнала. А поскольку дискретный сигнал определён лишь в некоторой точке за период квантования, преобразование Лапласа неприменимо к ним. В таких системах применяются Z-преобразования - частный случай преобразований Лапласа, который позволяет рассматривать дискретный сигнал как непрерывный.

Допустим, что информация о цепи представлена в дискретной форме. Воспользуемся методом аналогового прототипа и выполним Z-преобразования для аналоговой передаточной функции (2), проделав подстановку (4):

(4)

где z – оператор Z-преобразования, T – период дискретизации.

Для удобства сравнения процессов примем период дискретизации T в данном разделе равным Δt в предыдущем разделе.

В результате подстановки было получено выражение (5) для дискретной передаточной функции, которое необходимо упростить: (5)

Воспользуемся MathCAD для дальнейших преобразований:

Для получения переходного процесса в дискретной системе, зависящей от номера отсчёта n, воспользуемся обратным Z-преобразованием

Полученная функция h1(n) называется дискретной последовательностью, поскольку зависит от n, а не от времени t. Для представления во временной оси отсчёт времени представим в виде nT, при этом график полученной переходной функции представлен на рисунок 4.

Рисунок 4

2.4 Применение интегральной оценки погрешности

Интегральные оценки качества согласно [1] представляют собой интегралы по времени (в пределах от 0 до ∞) от некоторой функции управляемой переменной X(t) или сигнала ошибки ΔX(t):

Простейшей интегральной оценкой является линейный интегральный критерий:

(6)

где ΔX(t) – функция ошибки.

Интегральная оценка учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому, чем меньше оценка, тем выше точность переходного процесса.

Недостатком линейного интегрального критерия I₁ является то, что его можно применять лишь в заведомо неколебательных переходных процессах.

В связи с этим колебательных переходных процессах применяют такие интегральные оценки, в которой знакопеременность подынтегральной функции устранена. Таким свойством обладает квадратичный интегральный критерий.

Представим, что переходная функция рассматриваемой динамической системы, полученная с применением преобразования Лапласа, является эталонной X_Э(t). Оценим качество переходного процесса с применением интегрального критерия. Поскольку из рисунка 5 видно, что переходный процесс неколебательный (апериодический), воспользуемся линейным интегральным критерием оценки I₁.

Рисунок 5

Однако при применении численных методов и Z-преобразований полученные функции не являются непрерывными, что не позволяет провести их интегрирование, для оценки необходимо применить численное интегрирование. Воспользуемся методом трапеции [3], тогда линейный интегральный критерий (6) преобразуется к виду:

Оценим качество переходных процессов относительно h(t) методом трапеции, воспользуемся MathCAD.