Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?
2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?
3. Сформулируйте достаточные признаки возрастания и убывания функции.
4. Какие точки называют критическими точками функции?
5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.
6. Какая кривая называется выпуклой? (вогнутой?)
7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?
8. Что называется точкой перегиба кривой?
9. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.
10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.
Тема 6. Функции нескольких переменных
Литература: [3], гл. XX; [5], № 1854, 1862, 1926.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение функции двух независимых переменных.
2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных? Каково геометрическое изображение функции двух переменных?
3. Как найти частные и полное приращения функции двух переменных?
4. Сформулируйте определение предела функции двух переменных.
5. Какая функция называется непрерывной в точке? (в области?)
6. Что называется частными производными первого порядка функции двух переменных? Каков их геометрический смысл?
7. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных? Как его вычислить?
8. Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?
9. Что является необходимым условием экстремума функции двух переменных?
10. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.
Тема 7. Неопределенный интеграл
Литература: [3], гл. XIII;[5], № 1264, 1267, 1318,1363.
Приведем для справок основные свойства и таблицу основных неопределенных интегралов.
Свойства неопределенного интеграла
1.
Неопределенный интеграл от суммы
конечного числа непрерывных функций
равен сумме неопределенных интегралов
от слагаемых функций, то есть
2.
Отличный от нуля постоянный множитель
можно выносить за знак неопределенного
интеграла, то есть
3.
Дифференциал неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению, то
есть
4.
Неопределенный интеграл от дифференциала
функции равен самой функции, сложенной
с произвольной постоянной, то есть
Таблица основных интегралов
1.
где
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Задача
7. Вычислить
неопределенные интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
Решение.
а) Преобразуем подынтегральную функцию, применим свойства (1) и (2) неопределенного интеграла и формулы (1) и (4).
б) Рассматриваемый интеграл (как и последующие) вычислим методом замены переменной (методом подстановки), описываемый следующей формулой:
(*)
После вычисления неопределенного интеграла, стоящего в правой части формулы (*), в полученном выражении следует перейти от переменной t к переменной х.
в) Данный интеграл сводится к табличному (2), подстановкой l-x3 = t.
г)
д)
Задача 8. Вычислить неопределенные интегралы:
а)
б)
в)
Решение.
Данные интегралы вычисляются по формуле интегрирования по частям:
(**)
Представление подынтегрального выражения в виде множителей u и dv сводит к интегралу, который должен быть «проще» исходного или табличным интегралом. При этом удобно пользоваться следующими рекомендациями.
1. Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию, то за множитель u следует принять многочлен.
2. Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию, то за множитель u следует принять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
а)
Исходя из рекомендации 1, получим
Замечание:
интеграл
найден методом подстановки t=2x.
б) Исходя из рекомендации 2, получим
в) Исходя из рекомендации 1, получим
