9.11 Перемножение рядов
Пусть даны два ряда
(ряд А)
и
(ряд В).
Как определить произведение этих рядов?
Рассмотрим бесконечную матрицу
,
составленную из
всевозможных произведений вида
.
Нам надо сложить все элементы этой
матрицы. Как это сделать? Моно, например,
по диагоналям складывать
,
(*)
а можно и так
,
можно еще тысячами разных способов. Но где гарантия, что все эти ряды имеют одну и ту же сумму?
Теорема
Коши. Если ряды (А)
и (В)
сходятся абсолютно, то их произведение,
составленное из слагаемых вида
,
взятых в
любом
порядке,
также сходится и имеет своей суммой
.
Доказательство.
Рассмотрим ряд вида
в которое входят все комбинации типа , и рассмотрим его частную сумму
.
Пусть
.
Тогда
,
где
,
.
Следовательно, ряд
сходится. В силу
этого ряд
сходится абсолютно
и поэтому его слагаемые можно располагать
в любом порядке. Беря частные суммы ряда
С
в виде
и поэтому
.
на практике чаще всего суммируют по диагоналям бесконечной матрицы, как в (*).
9.12 Двойные ряды
Обобщением рассмотренной выше ситуации является следующая. Дана бесконечная матрица
.
Рассмотрим суммы
.
Рассмотрим двойной предел, когда m
и n
одновременно
независимо друг от друга стремятся в
+
(более строгое определение понятия
двойного предела смотрите в следующей
главе):
,
который называется
двойным
рядом, и
обозначается символом
.
Кроме этого можно рассмотреть и так называемые повторные пределы, когда в + уходит сначала n, а потом т
,
или, наоборот, сначала т, а потом п
.
Они называются повторными рядами.
Теорема. Если из трех рядов
,
,
то сходятся и два остальные и верно равенство
=
=
.
Доказательство.
1. Пусть
.
Тогда очевидно,
что
.
Но
монотонно возрастает с ростом п,
и, в силу ограниченности сверху, существует
конечный предел
.
Но
также монотонно
возрастает с ростом т,
и также ограничена сверху. Поэтому
существует и повторный предел
и ряд сходится. Совершенно аналогично показывается сходимость ряда .
2. Пусть теперь
.
Тогда
.
Но
монотонно возрастают с ростом п
и т,
и, в силу ограниченности
сверху, существует двойной предел
.
3. Сравнивая полученные неравенства легко получить, что суммы всех этих трех рядов равны между собой
= = .
Но тогда ряды
, , .
Сходятся абсолютно, и, в силу этого, в них можно произвольно переставлять слагаемые, их суммы от этого не изменятся. Поэтому
= = .
9.13 Бесконечные произведения
В заключение этой главы рассмотрим коротко достаточно экзотический раздел математического анализа так называемые бесконечные произведения.
Определения.
Пусть имеем
последовательность вещественных чисел
,
которые все
отличны от нуля. Рассмотрим
так называемые частные
произведения
;
;
;
…
.
Предел
называется бесконечным
произведением.
Если этот предел существует,
конечен и отличен
от нуля,
то говорят, что бесконечное произведение
сходится,
в противном случае
расходится.
Величина
называется остаточным
произведением
после п-го
сомножителя.
Свойства
1. Если бесконечное произведение сходится, то п сходится и остаточное произведение. Наоборот, если какое-то остаточное произведение сходится, то сходится и само бесконечное произведение и верна формула
Доказательство.
А) Пусть существует
.
Но тогда
и, делая предельный переход N ,
получим
.
Б) Пусть существует
.
Но тогда
и поэтому
.
2. Если бесконечное
произведение сходится, то
.
Действительно,
и поэтому
.
3. Если бесконечное
произведение сходится, то
.
Действительно,
и поэтому
.
Следствие. Если
бесконечное произведение сходится, то,
начиная с некоторого N,
все
.
Этими простейшими свойствами мы ограничимся.
Признаки сходимости
Теорема
1. для того, чтобы бесконечное произведение
сходилось необходимо и достаточно,
чтобы сходился ряд
.
Доказательство.
Имеем
;
;
.
Используя непрерывность логарифмической и показательной функций, получаем:
А)
.
Б)
.
Так как
,
то представим
в виде
.
Тогда
.
Теорема
2. Пусть, начиная с некоторого N,
все
.
Тогда, для сходимости бесконечного
произведения необходимо и достаточно,
чтобы сходился ряд
.
Доказательство.
Так
как
,
то
.
Далее, так как
,
то ряды
и
сходятся или расходятся одновременно.
Теорема
3. Из сходимости рядов
и
следует сходимость бесконечного
произведения.
Доказательство.
Примем
без доказательства неравенство
.
Можете попытаться доказать его сами.
Далее, применяя правило Лопиталя, легко получить, что
.
Далее идет следующая цепочка следований:
Ряд
сходится
ряд
также сходится. Но так как сходится ряд
,
то сходится и ряд
бесконечное произведение сходится.
Еще кое-что
Бесконечное
произведение
называется абсолютно
сходящимся,
если
.
Если ряд
сходится,
но
,
то бесконечное произведение
называется
неабсолютно
сходящимся
В абсолютно сходящемся произведении можно как угодно переставлять сомножители от этого оно не изменится. В неабсолютно сходящемся произведении перестановка сомножителей может изменить значение бесконечного произведения.