9.7 Знакопеременные ряды

Пусть имеется последовательность чисел , такая, что . Ряд

называется знакопеременным рядом.

Признак Лейбница. Если , то ряд сходится.

Доказательство.

Рассмотрим следующую частную сумму изучаемого ряда

с чётным индексом 2m. Ее можно записать двояко. Записывая ее в форме

и вспоминая, что монотонно убывают, получаем, что все слагаемые положительны и поэтому монотонно возрастают с ростом m. С другой стороны, записывая эту же частную сумму в виде

,

так как все выражения, стоящие в скобках, опять-таки положительны. Поэтому, по теореме о пределе монотонно возрастающей последовательности, существует конечный .

Рассмотрим теперь частные суммы знакопеременного ряда с нечетным индексом. Имеем

.

Но тогда

.

Поэтому вообще и ряд сходится. 

Оценка остатка знакопеременного ряда

Пусть есть остаток знакопеременного ряда после п-го слагаемого.

Пусть . Тогда имеем:

.

Проделаем с этим выражением преобразования, аналогичные тем, которые проделывались с частными суммами. Группируя слагаемые так

получаем, что . Группируя слагаемые так

получаем, что . Окончательно имеем

Пусть . Тогда имеем:

.

Но тогда

и все предыдущие рассуждения повторяются слово в слово. В этом случае .

Оба полученных неравенства можно объединить в одно

.

Словами его часто формулируют так: остаток знакопеременного ряда меньше первого отброшенного слагаемого.

9.8 Сходимость рядов с произвольными слагаемыми.

Пусть теперь есть вещественные числа произвольного знака. Рассмотрим критерии сходимости ряда .

Признак сходимости БольцаноКоши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство.

Сходимость ряда , по определению, означает существование конечного предела его частных сумм . Но, по признаку БольцаноКоши для последовательности, для существования такого предела необходимо и достаточно, чтобы

.

Но легко видеть, что , что и дает доказываемый признак. 

Следствие. Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Доказательство. В приводимой ниже цепочке следований два раза идет ссылка на признак сходимости БольцаноКоши

Ряд сходится  по признаку БольцаноКоши

.

Но тогда

<  

по тому же признаку ряд сходится. 

Определение. Если ряд сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если ряд сходится, но , то ряд называется неабсолютно сходящимся рядом.

Пример неабсолютно сходящегося ряда.

Таким рядом является, например, ряд

,

который сходится по признаку Лейбница. Но ряд, составленный из модулей

расходится, как гармонический ряд с s = 1.

Признак БольцаноКоши не является рабочим признаком, но на его основе строятся рабочие признаки. Но, прежде, чем переходить к их изложению, рассмотрим один вспомогательный вопрос.

Преобразование Абеля

Пусть есть некоторые вещественные числа и . Тогда верна формула

.

Эта формула и называется преобразованием Абеля. Она является дискретным вариантом формулы интегрирования определенных интегралов по частям.

Доказательство.

Имеем

; ; ; … ;

Отсюда

; ; ; ; …; .

Теперь имеем следующую цепочку преобразований:

. 

Признак Дирихле

Пусть