8.7 Главные значения несобственных интегралов
Вернемся
к интегралу
.
Его определение было следующим:
(а любое).
Обратите внимание на одну деталь: в этом определении два предела и величины А и В совершенно не связаны друг с другом, они живут «каждый сам по себе».
Так вот, главным значением этого интеграла называется величина
.
(V.p.
первые буквы слов «valeur
principale»,
что , в переводе с французского, и означает
«главное значение»). Обратите внимание
на то, что здесь только один
предел. Это
выражение получается из предыдущего,
если завязать величины А
и В
соотношением
.
Если
не существует, но существует
,
то говорят, что интеграл
существует в
смысле главного значения.
Рассмотрим вычисление главного значения .
Пусть
нечетная функция, то есть
.
Тогда очевидно, что
и поэтому в данной ситуации
.
Пусть теперь
четная функция, то есть
.
Тогда очевидно, что
и поэтому в данной ситуации
.
В общем случае
можно представить в виде
,
где
,
.
Очевидно, что
есть четная функция, а
нечетная. Поэтому
,
что и является
рабочей формулой для вычисления
.
Рассмотрим теперь несобственные интегралы второго рода. Пусть с есть особая точка функции и . Тогда, как уже говорилось выше,
.
Снова обратите внимание на то, что в этом определении два предела и величины 1 и 2 никак друг с другом не связаны. Главное значение этого интеграла определяется так
,
то есть величины 1 и 2 стали одинаковыми и предел один.
Рассмотрим пример
на вычисление главного значения. Пусть
мы имеем интеграл
и
.
Тогда имеем
.
Но если 1
и 2
никак друг с другом не связаны, то
отношение
может быть любым,
и при
,
предел не существует. Но если считать,
что 1
= 2,
то
и поэтому
,
и интеграл существует в смысле главного значения.
8.8 Преобразование несобственных интегралов
Интегрирование по частям
Пусть функции
и
непрерывны на промежутке
и точка b
является особой точкой по крайней мере
для одной из них. Тогда, вспоминая формулу
интегрирования определенных интегралов
по частям, получим
.
Сделаем предельный
переход
.
Переменная
есть в трех слагаемых. Если существуют
два предела, то существует и третий, и
мы получим
,
что является формулой интегрирования по частям в несобственных интегралах.
Для несобственных интегралов первого рода она принимает вид
.
Вывод аналогичен.
Замена переменных
Теорема. Пусть
1. Определена на (b особая точка);
2. , Где на и существует непрерывная ;
3. 
и
.
Тогда имеет место формула
.
Доказательство.
Пусть
.
В силу непрерывности
при
также и
.
Вспоминая замену переменных в определенных
интегралах, имеем:
.
После предельного перехода , получаем
.
Пример.
Рассмотрим интеграл
,
который называется интегралом Френеля.
Вопрос о его сходимости не может быть
решен на основании изученных нами
признаков.
Сделаем замену
переменных
.
Тогда
и мы имеем:
.
Получившийся интеграл сходится по признаку Дирихле.