11. Синтез нерекурсивного фильтра с линейной фчх методом наименьших квадратов

На рисунке приведена функция D(θ) - идеальная АЧХ полосового фильтра в полосе пропускания и полосе задерживания и функция A(θ), описывающая реальную АЧХ.

Рисунок 2.36 - Функция A(θ) и функция D(θ), описывающая идеальную АЧХ

Функция d(θ) определяется следующим образом

Метод не накладывает ограничений на АЧХ в переходной полосе.

Функция A(θ) определяет АЧХ реального фильтра, т.к. АЧХ

Можно считать, что при минимальном отличии функции A(θ) от функции D(θ), отличие АЧХ от D(θ) будет также минимальным.

Сформируем целевую функцию

.

Функция g() под знаком интеграла представляет собой весовую функцию, регулирующую точность аппроксимации.

Пусть, например,

При g<1 пульсации АЧХ в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а при g>1 наоборот.

Условием минимума  является равенство нулю производных

Частная производная по коэффициенту С_m равна

где m = 0, 1, .. K.

Подставляя в последнее соотношение W(θ) и D(θ) и приравнивая производную нулю, получим

Поменяв местами операции суммирования и интегрирования, выполнив интегрирование и полагая m=0,1,2,…K, получим систему из K+1 уравнения с K+1 неизвестным коэффициентом C_k .

Решение этой системы завершает синтез фильтра.

12. Синтез нерекурсивного фильтра с линейной фчх методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации

Все методы, рассмотренные выше, позволяют синтезировать фильтры с линейной ФЧХ и АЧХ с допустимыми пульсациями, причем уровень пульсаций зависит от частоты. Например, из рисунков 2.31 и 2.32 видно, что уровень пульсаций в полосе задерживания уменьшается по мере удаления от переходной полосы, однако при синтезе приходится ориентироваться на их максимальный уровень, который должен быть меньше допустимого. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли уменьшить максимальный уровень за счет выравнивания пульсаций в пределах заданной полосы. Ответом на этот вопрос является метод наилучшей равномерной аппроксимации.

На рисунке 2.37 приведены требуемая АЧХ полосового фильтра D(θ), заданная в полосе пропускания и в полосе задерживания, и аппроксимирующая функция A(θ) с равновеликими пульсациями.

Точками обозначены экстремумы этой функции.

Рисунок 2.37 – Требуемая АЧХ D(θ) и функция A(θ) при

чебышевской аппроксимации

Сформируем взвешенную функцию ошибки

.

Весовая функция g(θ) определяется следующим образом

При g<1 пульсации АЧХ в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а при g>1 наоборот. На рисунке 2.37 представлен случай, когда g = 1 и пульсации в полосе задерживания такие же, как в полосе пропускания.

Теорема о чебышевском альтернансе утверждает, что в случае оптимального решения ошибка имеет по крайней мере K+2 экстремума. Обозначим через , где i= 0,1,..K+1, нормированные частоты экстремумов.

На этих частотах должно выполняться условие

, где , i =0,1,..K+1

Приведенные соотношения представляют собой систему K+2 линейных уравнений с K+2 неизвестными, из которых K+1 неизвестная – коэффициенты C_k аппроксимирующей функции A(θ), а ещё одна неизвестная - ошибка .

Трудность решения задачи состоит в том, что частоты чебышевского альтернанса неизвестны.

Поэтому сначала произвольно выбирают K+2 значения частот, решают приведенную систему уравнений, находят C_k и и анализируют ошибку аппроксимации во всем интервале частот. Если в некоторых точках фактическая ошибка превосходит , то выбирают новое множество экстремальных частот путем рассмотрения K+2 точек, где эта ошибка максимальна и имеет чередующийся знак.

В этой процедуре значение на каждом шаге возрастает и, в конце концов, сходится к своей верхней границе.

Описанная итерационная процедура известна под названием второго алгоритма Ремеза. В соответствии с этим алгоритмом написана машинная программа, нашедшая широкое применение при расчете фильтров.