8.Коэффициенты системной функции устойчивого звена второго порядка

Системная функция звена второго порядка определяется соотношением

.

Для определения полюсов системной функции приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

Фильтр реализуется в виде звеньев второго порядка в случае комплексно-сопряженных корней, т.е. при

. (2.29)

В этом случае корни уравнения определяются следующим соотношением

.

Из последнего соотношения находим

.

Условием устойчивости звена является

.

Поэтому коэффициент A₂ устойчивого звена второго порядка должен удовлетворять условию

. (2.30)

Из неравенств (2.29) и (3.30) следует неравенство для коэффициента A₁

. (2.31)

9. Нерекурсивный цифровой фильтр с линейной фчх.

На рисунке 2.28 показан нерекурсивный фильтр, у которого коэффициенты системной функции b симметричны относительно середины линии задержки.

Рисунок 2.28 – Нерекурсивный фильтр с линейной ФЧХ

Выходной сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Выразим Z – преобразование выходного сигнала фильтра через Z – преобразование входного сигнала

.

Разделив Y(z) на X(z), найдем системную функцию

.

Найдем комплексный коэффициент передачи фильтра, используя подстановку .

.

Обозначим

, (2.26)

где

Тогда АЧХ и ФЧХ (без приведения в интервал от -π до π) фильтра определятся следующими соотношениями

,

. (2.27)

Так как второе слагаемое в выражении для ФЧХ - константа (0 или π), ФЧХ этого фильтра является линейно-ломаной.

Линейность ФЧХ обусловлена симметрией коэффициентов системной функции относительно середины линии задержки (симметрией импульсной характеристики фильтра).

10. Синтез нерекурсивного фильтра с линейной фчх методом ряда Фурье и «окна»

Задачей синтеза фильтра является определение коэффициентов его системной функции при заданных требованиях к АЧХ. В случае фильтра с линейной ФЧХ и АЧХ, определяемой рядом косинусов ((2.26), (2.27)), этими коэффициентами являются коэффициенты .

Из (2.26) видно, что функция , определяющая АЧХ фильтра, является периодической функцией с периодом 2π.

Пусть требуется выполнить синтез ФНЧ, у которого функция A(θ) стремится к функции D(θ), показанной на рисунке 2.29 в интервале изменения θ от –π до π.

Рисунок 2.29 – Идеальная АЧХ ФНЧ

Разложение функции D(θ) в ряд Фурье позволяет определить коэффициенты

, (2.32)

где m = 1,2 ..K.

В качестве примера приведем рассчитанные по формулам (2.32), (2.26) и (2.27) функцию и АЧХ К(θ) при θ₀ = π / 2, K=3.

Рисунок 2.30 – Функция и АЧХ К(θ) при θ₀ = π / 2, K=3

Вместе с графиком реальной АЧХ K(θ) показана идеальная прямоугольная АЧХ D(θ). При K=3 эти характеристики сильно отличаются друг от друга. Особенностью АЧХ являются пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

На рисунках 2.31 и 2.32 приведены АЧХ фильтров при K=10 и K=20 соответственно.

Рисунок 2.31 – АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K = 10

Рисунок 2.32 – АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K = 20

На этих рисунках используется логарифмический масштаб по оси ординат для того, чтобы АЧХ была более наглядной в полосе задерживания.

Из рисунков видно, что увеличение длины линии задержки (уменьшение количества отбрасываемых членов разложения Фурье), делая АЧХ более прямоугольной, не устраняет пульсации АЧХ. С увеличением длины линии задержки частота пульсаций увеличивается, однако максимальный уровень первого бокового лепестка в полосе задерживания остается практически неизменным и равным 0.1.

Пульсации АЧХ вблизи точек разрыва функции, связанные с ограничением членов разложения в ряд Фурье, получили название явления Гиббса.

Для уменьшения пульсаций рядом специалистов по цифровой обработке сигналов было предложено использование так называемых «оконных функций».

Сущность метода состоит в следующем: вместо коэффициентов системной функции b_m используют коэффициенты

,

где - m-ый отсчет оконной функции.

Простому ограничению ряда Фурье соответствует прямоугольное окно

Несколько других функций приведено в таблице 2.1.

На рисунках 2.33 и 2.34 показаны АЧХ рисунков 2.31 и 2.32 соответственно после операции сглаживания с использованием окна Хемминга. Из сопоставления АЧХ до сглаживания и после него видно, что эта операция приводит к существенному (примерно на 40 дБ) ослаблению пульсаций, но и к расширению переходной полосы между полосой пропускания и полосой задерживания фильтра.

Таблица 2.1. Функции окна

Название окна	Функция окна
Окно фон Ганна (приподнятый косинус)
Окно Хемминга
Окно Блэкмана
Окно Ланцоша	, где L - целое число

Рисунок 2.33 – АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K=10 и сглаживанием

пульсаций функцией Хемминга

Рисунок 2.34 – АЧХ фильтра с линейной ФЧХ при θ₀ = π / 2, K=20 и сглаживанием

пульсаций функцией Хемминга

Описанный метод синтеза рассмотрен на примере фильтра нижних частот. Однако его нетрудно распространить на фильтры других типов.

Например, АЧХ полосового фильтра с граничными значениями полосы θ₁ и θ₂ можно представить в виде разности АЧХ ФНЧ, как это показано на рисунке 2.35.

Рисунок 2.35 – Представление АЧХ полосового фильтра в виде разности АЧХ ФНЧ

D(θ)=D₂(θ) – D₁(θ)

Такое представление АЧХ позволяет определить коэффициенты разложения в ряд Фурье b_m как разность соответствующих коэффициентов разложений в ряд Фурье АЧХ ФНЧ

. (2.33)

Аналогичным образом находятся коэффициенты разложения для режекторного фильтра (РФ) и фильтра верхних частот (ФВЧ)

В таблице 2.2 приведены значения коэффициентов разложения АЧХ для всех типов фильтров. Оконные функции используютcя при синтезе всех типов фильтров одинаково.

Таблица 2.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье функции,

определяющей АЧХ фильтра

Тип фильтра	Коэффициенты bn
ФНЧ
ФВЧ
ПФ
РФ