5. Системная функция цифрового фильтра. Нули и полюсы системной функции. Формы программной реализации фильтров (прямая и каноническая)

Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала

.

Воспользовавшись (2.6) и теоремой о дискретной свертке (раздел 2.1), выразим Z-преобразование Y(z) выходного сигнала фильтра y_n через Z-преобразование X(z) входного сигнала x_n

Y(z) = H(z) X(z),

где .

Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.

Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.

Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.

Рассмотрим формы программной реализации фильтра:

1. Прямая форма

На рисунке 2.5 представлен алгоритм функционирования цифрового фильтра при прямой форме реализации. Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра y_n должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени x_n, x_n-1, ..x_n-N и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени y_n-1, y_n-2, .. y_n-N. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B₀, B₁, .. B_N, A₁, A₂, .. A_N определяют свойства фильтра.

Рисунок 2.5 – Прямая форма программной реализации фильтра

Согласно схеме рисунка 2.5 запишем разностное уравнение

Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала

Из последнего соотношения получим

. (2.7)

Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.

Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.

Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.

2. Каноническая форма.

Представим выражение (2.7) в виде произведения двух функций

,

(2.8)

Согласно (2.8) цифровой фильтр с системной функцией H(z) можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров с системными функциями H_A(z) и H_B(z) (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Представление фильтра с прямой формой реализации

в виде последовательного соединения двух фильтров

Действительно,

.

Заменив укрупненный алгоритм рисунка 2.6 детальным, получим схему фильтра, изображенную на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 – Детальный алгоритм представления фильтра с прямой реализацией