31. Алгоритм быстрого преобразования Фурье с прореживанием во времени.

Рассмотрим последовательность x_n , содержащую отсчётов, где M - целое число (рисунок 4.2). Разобьем члены этой последовательности на две группы. В первую

включим члены исходной последовательности с нулевым и четными индексами, во вторую - члены с нечетными индексами. Из первой группы образуем последовательность x1_m, а из второй - последовательность x2_m.

Индексы членов последовательностей x_n и x1_m связаны соотношением n = 2m, а индексы членов последовательностей x_n и x2_m - соотношением n = 2m + 1.

Рисунок 4.2 – Разбиение последовательности отсчетов x на две последовательности

x1 и x2, содержащие члены исходной последовательности x с четными

и нечетными индексами соответственно

Тогда выражение для прямого ДПФ (6.3) можно представить в виде

Учитывая, что , получим

.

Обозначим - прямое ДПФ последовательности x1 и

- прямое ДПФ последовательности x2,

где .

Учтем также, что , а .

Поэтому

при i = 0, 1, 2, .. N / 2 - 1 и k = i,

при i = 0, 1, 2, .. N / 2 - 1 и k = i+N / 2. (4.7)

Графическое представление вычислительных операций (4.7) приведено на рисунке 4.3. На нем показано, как из двух четырехточечных последовательностей формируется од-

на восьмиточечная. Стрелочками представлены множители , на которые умножаются отсчеты S2₀ , S2₁ , S2₂ , S2₃ соответственно. Отсчеты S₀ , S₁ , S₂, S₃ получаются с использованием операции сложения, поэтому около них стоит знак “ + “, отсчеты S₄ , S₅ , S₆ , S₇ находятся после выполнения операции вычитания и около них поставлен знак “ - “.

Описанная часть рисунка напоминает развернутые крылья бабочки, поэтому“ бабочкой “ называется данная операция БПФ. В виде таких же бабочек можно развернуть показанные на рисунке блоки ДПФ. Из каждого блока ДПФ получается своя бабочка и два двухточечных блока ДПФ, каждый из которых представляется своей бабочкой. Двухточечные блоки ДПФ дальнейшего разбиения не требуют.

Рисунок 4.3 - Формирование отсчетов спектра восьмиточечной последовательности

из отсчетов спектров двух четырехточечных последовательностей с

использованием прореживания во времени

Подсчитаем количество операций умножения, которые нужно выполнить, используя алгоритм БПФ. Для этого составим таблицу 4.1.

Таблица 4.1

Номер шага разбиения	Количество умножений на постоянный коэффициент	Количество блоков ДПФ, подлежащих дальнейшему разбиению	Вид последовательности на входах оставшихся блоков
1	N / 2	2	N / 2
2	2 ( N / 4 ) = N / 2	4	N / 4
3	4 ( N / 8 ) = N / 2	8	N / 8
. . .	. . .	. . .	. . .
M -1	N / 2	2 M -1	N / 2 M -1 = 2
M	N / 2	-	-

Из таблицы видно, что на каждом шаге разбиения выполняется N / 2 умножений, а количество шагов равно M = log ₂ N. Следовательно, количество умножений равно

(N / 2) log₂ N вместо N² при ДПФ. Величина выигрыша при переходе от ДПФ к БПФ увеличивается с увеличением количества отсчетов N.