29.Прямое дискретное преобразование Фурье.

На рисунке 4.1 показан дискретный сигнал x_n , содержащий N отсчетов. Длительность сигнала T_c = T_Д N, где T_Д - интервал дискретизации. На этом же рисунке приведена последовательность (t) дельта - функций (t - n T_Д).

Рисунок 4.1 – Дискретный сигнал и последовательность дельта - функций

Поскольку цифровая обработка сигналов возникла значительно позже аналоговой, то алгоритмы дискретного преобразования Фурье (ДПФ) были разработаны на основе преобразований Фурье аналоговых сигналов.

Прямое преобразование Фурье аналогового сигнала x(t) определяется соотношением

(4.1)

где - спектральная плотность сигнала.

Для того чтобы воспользоваться этим соотношением для определения прямого ДПФ сформируем аналоговый сигнал x(t), умножив x_n на соответствующую - функцию последовательности ,

Подставив (6.2) в (6.1), получим

(4.2)

Зададимся шагом  изменения частоты  = k  , где k - целое число

Учитывая, что T_Д = T_c / N , получим  T_Д = 2  F T_c / N.

Примем F T_c = 1.

Введем обозначение:

Тогда

(4.3)

Докажем, что функция является периодической по k с периодом, равным N.

Действительно,

Поэтому и S_k представляет собой периодическую функцию с периодом N. Следовательно, k = 0,1,2,.. N-1.

30.Обратное дискретное преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье аналогового сигнала определяется соотношением

(4.4)

Выражение для обратного преобразования (4.4) отличается от выражения для прямого преобразования (4.1) знаком в показателе экспоненты и постоянным сомножителем перед знаком интеграла.

По аналогии с (4.4) и (4.1) , учитывая (4.3), запишем выражение для обратного ДПФ

(4.5)

где а – неизвестная константа.

Для определения константы a подставим (4.3) в (4.5), предварительно заменив в (4.3) индекс суммирования n на m

При m = n имеем

При m  n рассматриваемая сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице, последний , а знаменатель -

Поэтому при m  n

В результате получим , следовательно, .

Таким образом , (4.6)

Из (4.3) и (4.6) следует, что для определения всех N отсчетов спектра по (4.3) или N отсчетов временной функции по (4.6) требуется выполнить комплексных умножений

и столько же комплексных сложений. При N больше 1000 это прямое вычисление требует больших затрат машинного времени. Поэтому возникла необходимость в разработке алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), позволяющих уменьшить число арифметических операций.