43. Представление данных в процессорах с плавающей точкой. Сравнительная оценка процессоров с фиксированной и плавающей точкой.

В 1985 г. институт инженеров по электротехнике и электронике IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) в США разработал стандарт представления чисел с плавающей точкой IEEE 754.

Согласно этому стандарту слово данных разбивается на три поля

Три битовых поля для представления числа с плавающей точкой

Однобитовое поле s (sign- знак) используется для указания знака числа. Для положительного числа s = 0, для отрицательного – s = 1.

За ним следует поле смещённого порядка e (exponent – порядок) двоичного числа.

В третьем поле f записывается дробная часть мантиссы (fraction). Мантисса наряду с дробной частью содержит целую часть (1 или 0). Если целая часть мантиссы равна единице, то число считается нормализованным, а если она равна нулю, то ненормализованным. Бит целой части мантиссы не хранится. Целая часть мантиссы считается равной нулю, только в том случае, когда смещённый порядок числа также равен нулю. Во всех остальных случаях целая часть мантиссы равна единице.

Величина смещения выбирается так, чтобы смещённый порядок был положительным или равным нулю.

Величина смещения bias связана с количеством бит m в поле порядка следующим соотношением

где - десятичный эквивалент смешения.

Десятичный эквивалент двоичного числа с плавающей точкой в формате IEEE 754 определяется следующим соотношением

В последнем соотношении e₁₀ и (1.f)₁₀ –десятичные эквиваленты смещённого порядка и мантиссы соответственно.

Пример №1. На рисунке представлено положительное двоичное число в формате с плавающей точкой

Положительное число в формате IEEE 754

Определим десятичный эквивалент этого числа. Количество разрядов порядка равно 8, следовательно, величина смещения . Десятичный эквивалент смещённого порядка равен . Следовательно, порядок (несмещённый) двоичного числа равен 124-127=-3. Десятичный эквивалент дробной части мантиссы равен . Так как смещённый порядок больше нуля, то целая часть мантиссы равна единице. Следовательно, десятичный эквивалент мантиссы равен 1.5. Поскольку знаковый разряд равен нулю, число положительно. Окончательно получим .

Пример №2. На рисунке приведено отрицательное двоичное число в формате с плавающей точкой

Отрицательное число в формате IEEE 754

Десятичный эквивалент смещённого порядка равен , следовательно, десятичный эквивалент порядка равен 132-127=5. Десятичный эквивалент мантиссы равен . Так как знаковый разряд равен 1, то число отрицательно. В результате получим

Если для представления числа с плавающей точкой используется 32 двоичных разряда, из которых 8 отводятся на смещённый порядок, 23 – на дробную часть мантиссы и один на знак числа, то такой формат называется форматом для представления данных с одинарной точностью SP (Single Precision floating-point format).

Формат для представления данных с двойной точностью DP (Double Precision floating-point format) предусматривает использование 64 бит для представления числа с плавающей точкой. Из них 11 бит порядка, 52 бита дробной части мантиссы и 1 знаковый бит.

В формате DP минимальные значения абсолютных величин ненормализованного и нормализованного чисел равны 5x10 ^–324 и 2.2x10^–308 соответственно, а максимальное значение абсолютной величины нормализованного числа равно 1.8x10³⁰⁸.

Операции над числами с плавающей точкой являются более трудоёмкими по сравнению с операциями над числами с фиксированной точкой и требуют больших временных затрат.

Например, операции сложения и вычитания сводятся к сравнению порядков чисел, сдвигу мантиссы числа с меньшим значением порядка вправо, последующему сложению мантисс и присвоению порядку результата значения большего из порядков двух исходных чисел.

Достоинства процессоров с плавающей точкой:

1. Высокая точность представления данных,

2. Возможность обработки сигналов с большим динамическим диапазоном,

3.Отсутствие проблемы переполнения разрядной сетки и необходимости масштабирования данных,

4. Отсутствие неоднозначной трактовки результата.

Недостатки процессора с плавающей точкой:

1. Необходимость использования большего объема памяти для хранения данных,

2. Сложность архитектуры,

3. Более низкое быстродействие из-за увеличения временных затрат на выполнение арифметических операций.