Оператор границ
(
)
Числа Бетти Комплекса
Теорема
Пусть К1,….,Кp - совокупность всех компонент комплекса К.
Пусть
- группа Бетти комплекса К,
- группа Бетти комплекса Кi,
то
Доказательство:
Пусть Lr-
группа всех r-
мерных цепей комплекса К. Через
обозначим ее подгруппу, составленную
из всех цепей в которые с коэффициентом
входят лишь симплексы комплекса Кi.
Пусть
Пусть
z=x1+...+xp
,следовательно,
Следовательно,
.
Пусть
,...,
-совокупность всех его положительно
ориентированных нульмерных симплексов
=
+(аi)x=g1
+...+gα
-произвольная
цепь из К.
Индекс I(x)= g1+...+ gα. Очевидно, что I(х+у)= I(х)+ I(у).
Если
у, что x=dy
I(х)=0
Для
связного комплекса К условия I(х)=0
и x=dy
эквивалентные. Сверх того
(K)
изоморфнаG.
Пусть а и е- две произвольные вершины
из К .
Предположим
= +(а1,аi+1).
Рассмотрим цепь
.
Из
этого выходит, что произвольная нульмерная
цепь
гомологична цепи
.
Так как
и
гомологичны,
то индексы их равны
если I(х)=0,
то x=dy.
Следовательно, верна теорема.
Теорема: Hульмерная группа Бетти произвольного комплекса К по полю коэффициентов G изоморфна прямой сумме нескольких экземпляров группы G, причем число этих экземпляров равно числу компонент комплекса К.
Доказательство:
Для связного комплекса оператор
дает гомолорфное отображение L0=Z0
в группу G.
Так
как при произвольном
имеется
в Z0
цикл gA0,
индекс которого равен
Формула Эйлера- Пуанкаре
Теорема:
Пусть К3-мерный комплекс. Число r-мерных
симплексов комплекса К обозначим через
аr,
r-мерное
число Бетти обозначим через
.
Число
(К)
называется Эйлеровой характеристикой
комплекса К.
Доказательство: Обозначим Lr-группу порожденную r-мерными симплексами комплекса К. Тогда ранг Lr=arранг Lr= рангZr+ ранг Lr/ZrLr/Zr и Нr-1 - изоморфно, следовательно,
ранг Lr= рангZr+ ранг Hr-1
ранг Zr =ранк Нr + ранг Zr/Нr = ранг Нr + βr. Предположим ранг Н-1 = 0, следовательно, αr= βr + ранг Нr + рангHr-1, следовательно,
Вычисление чисел Бетти для некоторых комплексов
Пример 1.
0
1
Пример 2.
2
0
1
П
2
0
1
