2.Эйлерова характеристика многоугольников

Определение: Многоугольником называется плоская фигура М, состоящая из

объединения конечного числа выпуклых многоугольников так, что выполнены следующие два условия:

1. Любые два выпуклые многоугольника либо совсем не имеют общих точек, либо имеют только общую вершину, либо имеют общую сторону.

2. Фигура М связна, т.е. любые две её точки можно соединить простой

незамкнутой ломаной, целиком лежащей в М.

Под разбиением многоугольника на клетки следует понимать, что гранями разбиения будем называть те выпуклые многоугольники, из которых составлен многоугольник М, ребра-стороны этих выпуклых многоугольников, вершины разбиения-их вершины.

Определение: Многоугольник называется простым, если его граница состоит из одного контура

Теорема:

Эйлерова характеристика простого многоугольника равна 1 .

Бездоказательства.

3.Формула Эйлера для выпуклых многогранников

Теорема:

В-Р+Г=2 для всякого выпуклого многогранника.

Доказательство: Предположим что все его вершины расположены на разной

высоте и занумерованы в таком порядке V_i,……,V_B чтобы каждая следующая

была выше предыдущей. Обозначим через Г_i(і=1,....,В-1) число граней многогранника, для которых точка V_iявляется самой нижней вершиной или, другими словами, которые "выходят" из вершины V_i.

Через P_i( і=1,….,В-1) обозначим число ребер многогранника, которые

имеют вершину V_i, своим нижним концом.

Так как к вершине V_i примыкает одинаковое число ребер и граней, и все они "выходят" из нее вверх, то P₁=Г₁.

Рассечем теперь многогранник X горизонтальной плоскостью Q_i, расположенной чуть выше вершины V_i. В сечении получится выпуклый многоугольник М_i.

Каждому их Р_i ребер многогранника, выходящему вверх из точки V_i, соответствует своя вершина М_i. Аналогично, каждой из Г_i граней, выходящих вверх из этой же точки, соответствует своя сторона многоугольника М_i.

Названные вершины и стороны образуют простую (незамкнутую) ломаную линию (возможно состоящую только из одной вершины). Так как Эйлерова характеристика такой ломаной равна 1, то Р₁-Г₁=1

(i=2,....,B-l).

Общее число ребер многогранника равно Р= P₁+....+ Р_B-1, а общее число граней равно Г=Г₁+...+ Г_B-1,

Следовательно В - Р + Г =В-( Р₁+....+ Р_n-1)+( Г₁.+...+ Г_n-1)=В-( Р₁+....+ Р_n-1)+ Р₁ +(Р₂-1)+...+ (Р_n-1-1 )=В-( Р₁+....+ Р_n-1)+( Р₁+....+ Р_n-1)-(В-2)=2

Теория групп

Определение: Множество с операцией сложения +: GxG→G называется группой, если

1)

2)∃! 0∈Gт.ч. ∀a∈G а+0 = 0+а=а

3) ∀a∈G∃(-а) ∈G, т.ч а+(-а) =(-а)+а=0

Если кроме того выполнено условие коммутативности:

4) ∀a,B∈Ga+b = b+a то G называется абелевой группой. Далее в нашей работе мы рассматриваем только абелевы группы.

Определение: Н⊂G Н называется подгруппой G, если

1. ∀h₁,h₂, ∈Н⇒h₁+ h₂∈H

2. ∀h∈H⇒ (-h) ∈Н

Определение: Левым смежным классом G по подгруппе Н с

представителем а называется множество = { а + h, где h∈Н } которое обозначается а + Н.

Если G- абелева, то для любой подгруппе Н можно определить новую группу, называемой факторгруппой и обозначаемой G/H. Элементами G/H являются левые смежные классы G по Н с операцией сложения: (а+ H)+(b+H) (а+ b)+Н Пример: Множество целых-Z является абелевой группой относительно обыкновенного сложения. Подгруппами Z будут множества nZ={ nx, где x∈Z } где n-какое-то фиксированное натуральное число. В данном случае факторгруппой будет множество остатков от деления на n, с операцией сложения и взятия от полученного числа остатка от деления на n.

Z/nZ={ }

Говорят, что абелева группа G допускает конечную систему образующих х₁,х₂,...,х_s если каждый элемент x∈G может быть записан в виде n₁х₁+...+n_sх_s где n₁,...,n_s, ∈Z.

В нашей работе мы будем пользоваться без доказательства двумя фактами. Первый факт:(Теорема о конечнопорожденных абелевых группах) Всякая абелева группа G с конечным числом образующих представляется прямой суммой циклических групп:

A₁,...,A_r; В₁,...,В_q , где A_i=Z

Причем делится на .

Число r называется рангом группы G , a _j,….. _q - коэфицентами кручения.

Второй факт: (Теорема о ранге групп)

рангG=рангG/Н+рангНG-абелева группа.

Симплекс

Определение: а₀ , а₁, а₂, а₃- система независимых точек пространства R³ А³ ={х ∈R|х= λ₀а₀+ λ₁а₁+ λ₂а₂ + λ₃а₃, λ₀+ λ₁ + λ₂+ λ₃ =1 и λ₀ ≥ 0, λ₁ ≥ 0, λ₂ ≥ 0и λ₃ ≥ 0} называется 3-мерным симплексом.

Будем писать А³ =( а₀,а₁,а₂,а₃)

Исходные точки а₀,а₁, а₂,а₃ называются вершинами симплекса А³

Говорят, что симплексы А и В эвклидова пространства R³ расположены правильно, если они или вовсе не пересекаются или их пересечение А⋂В является гранью каждого из симплексов А и В. Одномерными гранями А являются:

(а₀,а₁),( а₀,а₂),( а₀,а₃),( а₁,а₂),( а₁,а₃),( а2,а3)

Д вумерными гранями А являются:

(а₀,а₁,а₂), (а₀,а₂,а₃), (а₀,а₁,а₃), (а₁,а₂,а₃)

Комплекс

Определение: Конечная совокупность К симплексов называется комплексом, если:

1. Наряду с каждым симплексом А совокупность К, в К входит также и любая грань симплекса А

2. Каждые два симплекса К расположены правильно.

1.Подкомплекс

Определение: Подкомплекс комплекса К называется всякий комплекс L , все симплексы которого принадлежат К.

2 .Связность

Определение: Комплекс К будем называть связным, если его невозможно разбить в сумму двух не пустых подкомплексовL и М без общих симплексов.

Теорема

К связен⇔ Для каждых его двух вершин aи е существует последовательность вершин а₁=a, а₂,…a_q=e, причем две соседние вершины этой последовательности служат вершинами одномерного симплекса из К

Доказательство: Допустим, что К не связен и потому распадается в сумму двух непересекающихся подкомплексовL и М. Пусть а- вершина из L, е-вершина из М. Если цепочка существует для этих вершин . Через а₁ обозначим последнюю ее вершину , принадлежащую L. Существующий симплекс (а_i,…,а_i+1) не может принадлежать ни L , ни М.

Обратно, пусть К связен. Зафиксируем какую-либо его вершину а и рассмотрим множество Е всех таких вершин е комплекса К, которые можно связать с а цепочкой. Очевидно, что если симплекс А имеет хоть одну вершину, принадлежащую Е ,то и все вершины его принадлежат Е. Совокупность всех симплексов из К, имеющих вершины в е , составляет подкомплексL. Множество всех симплексов из К, не принадлежащих L , составляет подкомплекс М из К, и потому пусто ввиду связности К.

Определение: Компонентом некоторого комплекса К будем называть такой связный его подкомплексL, что К распадается в сумму двух пересекающихся подкомплекс М и L.

1,2- примеры комплексов

3,4,5- не комплексы