Эйлерова характеристика и числа Бетти. Введение
Крупнейший математик 18 века Леонард Эйлер (1707-1783) родился в швейцарском городе Базеле. С двадцатилетнего возраста он жил в Петербурге, в Берлине потом снова в Петербурге. Эйлер сыграл выдающуюся роль в развитии математики, механики, физики и техники. Он был пионером научных исследований по математики в России.
В 1758 году Л. Эйлер опубликовал в Записках Петербургской академии наук доказательство формулы В-Р+Г=2, связывающее число вершин В, число ребер Р и число граней Г произвольного выпуклого многогранника. Доказательство этой формулы и ряда других формул для плоскости и пространства приведено в первой части данной работы.
Эйлерова характеристика играет важную роль в разделе математики, называемой комбинаторной топологией. Поэтому вторая часть работы посвящена введению чисел Бетти и доказательству формулы Эйлера-Пуанкаре. Мы считаем вторая часть намного сложнее, так как в ней применяется аппарат теории групп и симплициальной геометрии. Мы разобрались с основами теории групп и используем две фундаментальные теоремы: теорема о структуре конечнопорожденных абелевых групп и теория о ранге группы, подгруппы и факторгруппы. Также мы вводим понятие симплекса и комплекса и используя оператор взятия границы.
С помощью данной теории вводим числа Бетти и доказываем топлогнческую инвариантность эйлеровой характеристики.
В 90-х годах в американских университетах Дьюка и Стэнфорда математики создали новую отрасль, на стыке химии, алгебры и биологии, называемую биогеометрией. С помощью триангуляции Вороного строится комплекс Делоне и считаются геометрические инварианты числа Бетти молекул протеина. С помощью чисел Бетти можно определить можно ли химическим путем получить из одного протеина другой. Этот факт показывает новизну нашего проекта.
Числа Бетти и эйлерова характеристика являются инвариантами комплексов. Актуальность проекта состоит в том.что везде, где можно моделировать практическую задачу при помощи комплексов, подсчитав числа Бетти и эйлерову характеристику, можно определить возможность получения из одного объекта другой объект. То есть числа Бетти и эйлерова характеристика имеют практическое важное применение не только для чисто математических задач, решаемых с помощью моделирования комплексами.
Эйлерова характеристика числа Бетти и для плоскости.
Каждое семейство прямых разбивает плоскость на части, называемые гранями разбиения; их число будем обозначать Г. Вершинами разбиения называются точки пересечения данных прямых, а ребрами разбиения - части, на которые прямые делятся вершинами.
Теорема
В - Р + Г = 1, где В - число вершин, Р - число ребер
Доказательство: Пусть L1,....,Ln-заданные прямые, а А1,...,AB-вершины разбиения. Проведем через каждую пару вершин вспомогательную прямую;
обозначим эти прямые через М1,…,Мk.. Среди них находятся и все заданные
прямые L1,…,Ln. Проведем вспомогательную прямую L0, не параллельную
ни одной из прямых М1,… ,Мk .
Будем предполагать, что прямая L0 расположена, во-первых,горизонтально, во-вторых, "ниже" всех вершин А1,....., АB. Отсюда следует, что для каждой пары вершин Аi и Аj их расстояние от прямой L0 различны. Будем предполагать, что вершины занумерованы в порядке возрастания высоты, т.е. А1 - самая нижняя. А2 лежит выше чем А1, но ниже чем А3 и т.д., на конец AB- самая верхняя вершина.
"Движущаяся" прямая будет располагаться горизонтально, совпадая в своем начальном положении с прямой L0, и поднимаясь затем от нее вверх по плоскости. Прямую L можно использовать для подсчета ребер разбиения: так-
как она пересекается со всеми прямыми L1,...,Ln и притом с каждой из них в "своей" отдельной точке, то в начальном положении она встречает n ребер. Теперь заставим прямую L подниматься вверх по плоскости параллельно самой себе. До тех пор, пока она не встретит самую нижнюю вершину А1, число пересекаемых ее ребер останется неизменным и равным n. После перехода через А1 это число изменится: появятся новые ребра, число которых α1 (число проходящих через А1 прямых L1,...,Ln) вершины А1 .
По этому общее число ребер, встреченных к этому моменту прямой L0, станет равным n+α, и останется таким до встречи со следующей вершины А2 . Если вершина А2 имеет кратность α2, то после перехода через А2 число ребер, уже встреченных к этому моменту, снова увеличится и станет n+ α1+ α2 и т.д.
Наконец , после перехода L через последнюю, самую верхнюю вершину
АB кратности аB, это число станет равным n+ α1 + α2+,…,+ αB
Итак, общее число ребер разбиения равно
Число граней разбиения найдем следующим образом. В начальном положении прямая L делится прямыми L1,....,Ln на n+1 частей; каждая из этих частей лежит в своей, ей соответствующей грани разбиения и поэтому "засчитывает" эту грань. Значит прямая L в начальном положении встречает (n+1) граней, и это число не меняется, пока она не поднимается до А1. После прохождения через А1, появляются новые ребра в числе α1. Ясно, что число новых граней, встреченных при этом прямой L , будет равно (α 1 -1). Поэтому общее число граней, встреченных к этому моменту, будет равно 1+ n + α 1 -1. После прохождения через А2 это общее число увеличивается на α 2 -1 и т.д.; наконец, когда L пересечет последнюю, самую верхнюю, вершину АB, общее число граней ещё увеличится на αB -1.
Поэтому:
